Appunti di Fisica Teorica - INFN

15.2 Relazione tra P e C per gli spinori di Dirac
Benché sia P 2 = 1 che P 2 = −1 siano ambedue possibilità consistenti per
uno spinore di Dirac, solo la seconda possibilità definisce un operatore di
parità che commuta con la coniugazione di carica. Pertanto per una particella
di Dirac realmente neutra (una particella di Maiorana) la parità può
essere implementata solo se P 2 = −1. Per capirne la ragione è più illuminante
lavorare in una rappresentazione generale delle matrici di Dirac,
piuttosto che nella rappresentazione spinoriale che abbiamo usato nella sottosezione
precedente. L’operazione di parità per uno spinore di Dirac in una
rappresentazione generica deve avere la forma
P : ψ(x) → ψ P (x) = S(P ) ψ(xP ) (15.58)
dove S(P ) è una matrice che agisce sugli indici spinoriali. La condizione cui
S(P ) deve soddisfare è che ψP (x) sia una soluzione dell’equazione di Dirac:
i γ µ
∂µ − m S(P ) ψ(xP ) =
= S(P ) i S(P ) −1 γ µ S(P ) ∂ xνP ∂
− m ψ(xP ) =
= S(P )
Pertanto deve essere
∂ xµ ∂ xν P
i S(P ) −1 γ µ S(P ) (P −1 ) ν µ
∂ xν P
S(P ) −1 γ µ S(P ) = P µ ν γ ν
∂
− m ψ(xP ) = 0(15.59)
(15.60)
Il fatto che S(P ) esista è garantito dal fatto che γ µ → P µ ν γ ν è un automorfismo
delle matrici dell’algebra di Dirac e che questa ha un’unica rappresentazione
irriducibile.
Si noti che nel caso dell’equazione di Weyl, l’invarianza dell’equazione
richiederebbe che l’automorfismo σ i → −σ i dell’algebra di Pauli fosse implementato
da una coniugazione. Ma nel caso dell’algebra di Pauli questo
automorfismo connette due rappresentazioni inequivalenti dell’agebra: questa
è la ragione per cui la matrice 2 × 2 analoga a S(P ) non esiste e le equazioni
non sono invarianti per parità. In generale l’algebra di Clifford in dimensione
d = 2 n pari ha un’unica rappresentazione irriducibile di dimensione
2 n (che corrisponde alla rappresentazione di Fock fermionica con n oscillatori).
In questo caso l’automorfismo che inverte il segno di tutte le matrici
è implementato dalla matrice γd+1, la generalizzazione di γ5. L’agebra di
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