Appunti di Fisica Teorica - INFN

sinistrorsi, è, per p 2 = 0 uni-dimensionale. Notiamo infatti che le proprietà
(15.10) di coniugazione delle matrici di Pauli implicano che
Pertanto
e dunque
Inoltre
e quindi
e
(¯σ µ ) ∗ = ɛ σ µ ɛ −1
(¯σ µ pµ) ∗ = ɛ , σ µ pµ ɛ −1
det ¯σ µ pµ = det σ µ pµ
¯σ µ pµ σ µ pµ = (p 0 + p · σ)(p 0 − p · σ) = p 2
(det ¯σ µ pµ ) 2 = (p 2 ) 2
(15.35)
(15.36)
(15.37)
(15.38)
(15.39)
| det ¯σ µ pµ| = | det σ µ pµ| = |p 2 | (15.40)
In conclusione per p 2 = 0 le matrici che definiscono i vettori di polarizzazione
sono di rango 1.
Tornando alle proprietà di Lorentz dei vettori di polarizzazione, dalle
(15.33) segue che
R † (Λ) (Λ p)µ ¯σ µ R(Λ) u ( 1
,0)(p) =
2 ,0)(p) = (Λ p)µ Λ µ ν ¯σ ν u 1
( 2
= pν ¯σ ν u 1
( ,0)(p) = 0
2
R(Λ −1 ) (Λ p)µ σ µ R(Λ −1 ) † u 1
(0, 2 )(p) = (Λ p)µ Λ µ ν σ ν u 1
(0, )(p) =
2
= pν σ ν u 1
(0, )(p) = 0 (15.41)
2
e quindi concludiamo che
R(Λ) u 1
( 2 ,0)(p) = D ( 1
2 ,0)(Λ, p) u ( 1
2
R(Λ −1 ) † u 1
(0, 2 )(p) = D (0, 1
2 )(Λ, p)u (0, 1
2
,0)(Λ p)
)(Λ p) (15.42)
dove D 1
( 2 ,0)(Λ, p) e D (0, 1 )(Λ, p) sono dei coefficienti che sono fissati dalla con-
2
dizione di cociclo. Il metodo della rappresentazioni indotta dimostra che
questi coefficienti sono funzioni della combinazione
W (Λ, p) = L(Λ p) −1 Λ L(p) (15.43)
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