Appunti di Fisica Teorica - INFN

cioè
UC Γ t U −1
C
= ∓Γ (15.103)
Confrontando con la (15.95) vediamo dunque che la parte simmetrica (antisimmetrica)
di Tαβ è una rappresentazione con C = −1 (C = 1).
16 Il significato gruppistico delle matrici di
Dirac
Abbiamo visto che le relazioni (15.22) soddisfatte dalle matrici σ µ e ¯σ µ espri-
mono il fatto che il prodotto tensore ( 1
1 , 0)⊗(0, ) è equivalente alla vettoriale
2 2
( 1 1 , ). Nel seguito esploriamo il significato delle relazioni analoghe soddisfat-
2 2
te dalla matrici gamma. Abbiamo visto che nella rappresentazione spinoriale
il campo di Dirac si trasforma secondo la seguente
dove
U(Λ) : ψ(x) → S(Λ) ψ(Λ −1 x) (16.1)
S(Λ) =
R(Λ) 0
0 R † (Λ−1
)
(16.2)
L’invarianza dell’equazione di Dirac nella rappresentazione spinoriale è equivalente
alla relazione
S(Λ) −1 γ µ S(Λ) = Λ µ ν γ ν
(16.3)
che può essere direttamente verificata utilizzando l’espressione esplicita per
le matrici gamma nella spinoriale
γ µ
µ 0 σ
=
¯σ µ
(16.4)
0
Utilizzando la rappresentazione (16.4) è possibile verificare direttamente
che le matrici gamma soddisfano l’algebra di Clifford:
{γ µ , γ ν } = 2 g µν
(16.5)
Passando ad una rappresentazione generica dell’algebra di Clifford per le
matrici gamma
˜γ µ = U −1 γ µ U (16.6)
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