Appunti di Fisica Teorica - INFN

dove la traccia nel secondo membro è la traccia sullo spazio degli stati di un
oscillatore armonico unidimensionale
con le identificazioni di µ = 1
2 e
Hosc = p2 µω2
2
+ (x − x0)
2µ 2
ω = 2
Si noti che l’oscillatore è centrato in
= L0 L2 L3
8π 2 3 T
(x1)0 =
dp2
e B
c
c p2
e B
(23.50)
(23.51)
(23.52)
Pertanto gli autovalori del momento p2 devono essere presi in un intervallo
limitato
0 ≤ x1 ≤ L1 ⇒ 0 ≤ p2 ≤ e
B L1
(23.53)
c
In definitiva (23.49) si scrive
dp0L0 dp2L2 dp3L3
Z(B, T ) =
2π 2π 2π e−T (p2 0 +p2 3 +c2m2 e B
−
) e c T
e B
−2 1 − e c T
e B
− e c T
= V4 e B
8π 2 c 3 T
e
e B
−2 1 − e c T e−c2 m2 T
e −c2 m 2 T
e B
c T e B
− − e c T
(23.54)
dove V4 ≡ L0 L1 L2 L3 è il volume 4-dimensionale in cui abbiamo posto il
sistema. Notiamo che il limite di questa espressione per B → 0 è
Z(0, T ) =
V4
16π 2 4 T 2 e−c2 m 2 T
La formula (23.33) per il logaritmo del determinante diventa allora
Seff(B) − Seff(0)
=
V4
1
V4
∞
dT
= −
T
ɛ
log detɛ Heuc(B)
det Heuc(0)
[Z(B, T ) − Z(0, T )]
∞
dT
= −
ɛ 16π2 4 T 3
2
e
107
e B
c T
e B
c T e B
− − e c
(23.55)
− 1 e
T −c2m2 T
(23.56)