Appunti di Fisica Teorica - INFN

di potenziale dobbiamo considerare la traiettoria complessa corrispondente a
p immaginari che è soluzione delle equazioni del moto “euclidee” — queste
sono le equazioni del moto che si ottengono dall’azione originaria cambiando
il segno del: Veucl(x) = −V (x).
Nel nostro caso dobbiamo considerare la relazione momento-energia per
una particella relativistica in un campo elettrico costante E lungo la direzione
z:
c p(z) = (ɛ − eEz) 2 − c 4 m 2 (23.75)
dove ɛ è l’energia della particella. Le regioni classicamente permesse sono
quelle per cui
(ɛ − e E z) 2 − c 4 m 2 = (ɛ − e E z − m c 2 ) (ɛ − e E z + m c 2 ) ≥ 0 (23.76)
ɛ−m c2
cioè la regione con z ≤ z1 ≡ (regione delle particelle) e la regione
e E
ɛ+m c2
z ≥ z2 ≡ (regione delle anti-particelle). L’ampiezza di transizione del
e E
processo classicamente non permesso che va dalla regione z < z1 alla z > z2
è dunque proporzionale al fattore esponenziale
R √ 1 z2
R
−
e c z dz m2 c4−(ɛ−eEz) 2
1 m c
2
−
1 = e e E c −m c2 √
dy c4 m2−y2 (23.77)
= e − 2 m2 c 3 R 1
e E 0 dy
√
1−y2 = e − π m2 c 3
2e E
(23.78)
La probabilità di produzione di coppie per unità di tempo e di volume è
pertanto proporzionale a e − π m2 c 3
e E in accordo con la (23.73).
24 Integrale di Feynman e matrice S
L’elemento di matrice S tra due stati ψ1 e ψ2 è definito da
S21 = 〈ψ2| ˆ S|ψ1〉 = lim
〈ψ2|e
t2→+∞ t1→−∞ i
ˆ H0 t2 −
e i
ˆ H(t2−t1) −
e i
ˆ H0 t1 |ψ1〉 (24.1)
dove ˆ H è l’Hamiltoniana interagente e ˆ H0 quella libera. La formula (24.1)
è valida in generale, sia in meccanica quantistica non-relativistica che in
teoria dei campi. Consideriamo il caso di una particella in 3 dimensioni, di
coordinate x, diffusa da un potenziale V (x): in questo caso (24.1) diventa
S21 = lim
t 2 →+∞
t 1 →−∞
dx2 dx1 ψ ∗ i
−
2(x2, t2) ψ1(x1, t1)〈x2|e ˆ H(t2−t1)
|x1〉 (24.2)
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