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Per esempio, quando abbiamo un cilindro, riempito di gas e termicamente isolato, la cui pressione interna P è in equilibrio con la pressione esterna (si veda la figura accanto), se aumentiamo la pressione esterna di un’entità ∆P, il gas si comprime, cioè il suo volume non è più V, ma (V – ∆V). Applicando questa definizione generale al nostro volumetto, consideriamo che non possiamo più attribuire la stessa elongazione s alle molecole d’aria in x e a quelle in x + dx, come si è fatto sopra, quando di trattava di applicare a s due volte l’operazione di derivazione, per ottenere l’accelerazione del volumetto dV. Infatti, la derivata di una grandezza debolmente variabile, la cui variazione tende a zero, tende anch’essa al valore zero. Per interpretare correttamente la (2.3) dobbiamo considerare le seguenti corrispondenze: • V ≡ volume a riposo = S·dx; • ∆V ≡ variazione di volume provocata dalla pressione sonora = S·ds (infatti, la sezione di ascissa x si sposta, per via del fenomeno sonoro, in x + s mentre la sezione di ascissa x + dx si sposta in x + dx + ds); • ∆P ≡ variazione della pressione locale = pressione sonora p. Sostituendo nella (2.3) abbiamo: χ s Sds = - Sdx 1 p Abbiamo così ricavato una relazione tra p ed s, che ci consenta di sostituire nella (2.2) la pressione p con una sua espressione in funzione di s: 1 p = - χ s ds dx Derivando p rispetto a x otteniamo: 2 ∂p 1 ∂ s (2.4) = - 2 ∂x χ ∂x Confrontando la (2.4) con la (2.2) si ha: s 24
1 χ s Cioè: 2 ∂s 2 = ρ ∂x 2 ∂ s 2 ∂t 2 2 ∂s ∂ s (2.5) 2 = ρχ s 2 ∂t ∂t Questa, in generale, è la cosiddetta equazione d’onda: l’equazione differenziale, cioè, che descrive il passaggio di una perturbazione ondosa in un fluido (in questo caso) caratterizzato da densità ρ e compressibilità (adiabatica) χs. Velocità del suono nell’aria Il significato di ρχs è chiarito dall’analisi dimensionale. Indicando genericamente con l una lunghezza e con t un tempo, si ha: Dunque: Cioè: 25
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