entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

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Capitolo 7 Entanglement in sistemi unidimensionali e bidimensionali a bassa temperatura In questo capitolo presentiamo una breve rassegna dei risultati in letteratura che utilizzano l’entropia di entanglement per caratterizzare le proprietà di sistemi quantistici a molti corpi della materia condensata in bassa dimensionalità. Si tratta di un campo in grande sviluppo e ricco di proposte. Un ampio tema di ricerca riguarda il diagramma delle fasi dei sistemi mono e bidimensionali a temperatura quasi nulla dove gli effetti quantistici non possono essere trascurati. Si parla di fasi e transizioni di fase a T = 0, [43], quando lo stato fondamentale cambia qualitativamente al variare di un parametro nell’ hamilto- niana e il gap si annulla in un punto (ad esempio, variando il campo magnetico trasverso in un ferromagnete unidimensionale). Un paradigma generale per studiare le fasi di un sistema magnetico è la teoria di Landau, con azione: Seff = 1 2 (∂µϕ) 2 + V (ϕ). Come è noto, studiando i minimi di V (ϕ) si possono descrivere le fasi di un ferro- 92
CAPITOLO 7. SISTEMI (1+1) E (2+1) DIMENSIONALI 93 magnete in cui 〈φ〉 è la magnetizzazione, o parametro d’ordine. I punti multi-critici (n critici) corrispondono all’ annullarsi delle prime (2n − 1) derivate di V (ϕ), [44]. La teoria di Landau si puo’ applicare al sistema quantistico in d dimensioni in- terpretandolo come un problema statistico classico in una dimensione aggiunti- va, (d + 1), per d sufficientemente grande da giustificare l’approccio semiclassico, (piccole fluttuazioni del parametro d’ordine). D’altra parte, i sistemi in bassa dimensionalità presentano delle specificità che rendono difficile l’uso della teoria di Landau ed hanno spinto a considerare approcci alternativi. 7.1 Difficoltà della teoria di Landau e parametri d’ordine non locali In d + 1 = 2 non è possibile rottura della simmetria continua (teorema di Goldsto- ne o Mermin-Wagner), per cui 〈ϕ〉 = 0 e le sue fluttuazioni non sono trascurabili (long range order). L’assenza di un parametro d’ordine locale ha portato allo studio di quantità non locali che possano caratterizzare il diagramma delle fasi. Una di queste potrebbe essere l’entropia di entanglement analizzata in questa tesi: questa proposta è discussa nella recente rassegna [23]. L’entanglement dello stato fondamentale bipartito in sistemi magnetici unidimensionali è stato misurato nu- mericamente, [45] e calcolato in tutto il diagramma delle fasi nel limite continuo a ≪ ξ ≪ ∞, utilizzando i metodi dei sistemi integrabili, [31]. I risultati della teoria conforme e massiva descritti ai Cap. 4 e 5 sono stati verificati ampiamente. In breve, il risultato principale è che il comportamento dell’entropia di entanglement descrive i cambiamenti qualitativi dello stato fondamentale, ma non puo’ essere considerata come parametro d’ordine (non locale) delle transizioni di fase nel sen- so stretto attribuito alla magnetizzazione, [46], [47]. Naturalmente ancora molto rimane da capire, in particolare il ruolo dell’ entanglement degli stati eccitati che
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Università degli Studi di Firenze
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INDICE iv 5.4.1 Correlatore tra cam
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SOMMARIO vi (Cap.3). In un sistema
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Capitolo 1 Introduzione alle teorie
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CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIA
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Capitolo 2 Teorie conformi con bord
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CAPITOLO 2. TEORIE CONFORMI CON BOR
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CAPITOLO 3. ENTANGLEMENT IN MECCANI
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