entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 6. PROPRIETÀ DELL’ ENTROPIA DI ENTANGLEMENT 86
Ponendo poi:
z = e ξ , (6.41)
possiamo interpretare la funzione di partizione Zn(A) nel piano z come funzione di
partizione nel canale aperto su un anello con circonferenza di lunghezza 2 2π. La
direzione non compattificata dell’ anello (vedi Figura 6.3) ha lunghezza ˜ L:
˜L ≡ 1 v ε1
ξ − ξ ]; (6.42)
n ε2 v
il parametro q dell’ anello, vedi Cap.2, è e 2πiτ , dove τ = i 2π ˜ L . Passando all’ evoluzio-
z
v ξ
( )
ε1 ξ(
v)
e
ξ
e
ε 2
2π
Figura 6.3: Seconda trasformazione conforme
ne nel canale chiuso, radiale nel piano di z, otteniamo per la funzione di partizione
Zn:
L
Zn = 〈0; ε2|e − ˜ LH |0; ε1〉, (6.43)
dove |0; ε1〉 e |0; ε2〉 sono stati di bordo formali che rappresentano i cut-off e
l’hamiltoniana che evolve nella direzione radiale è:
All’ ordine più basso in ˜q = e − ˜ L , risulta:
H = (L0 + ¯ L0) − c
, (6.44)
12
Zn = 〈0; ε1|˜q (L0+ ¯ L0)− c
c
− 12 |0; ε2〉 ∼ 〈0; ε1|0〉〈0|0; ε2〉 ˜q 12 . (6.45)
2 La lunghezza del raggio della circonferenza è inessenziale, comunque non comparirebbe in τ