entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 5. FERMIONI SUL TORO 68
Noether per le azioni dei fermioni di Dirac e Majorana. In particolare:
T1(z) = − 1
2 : ψ1(z)∂ψ1(z) : , (5.10)
con i due punti che indicano l’ ordinamento normale. Dalla (5.8) segue per la
funzione di partizione del fermione di Dirac nel settore ν:
2Zν ≡ [Zu,v] 2 =
θν(0|τ)
η(τ)
2
, (5.11)
I settori ν = 2, 3, 4 corrispondono alle condizioni al contorno (u, v) = (0, 1 1 1 ), ( , 2 2 2 ),
( 1,
0). Un fermione di Dirac sul toro con condizioni al contorno ν è dunque equiva-
2
lente a due fermioni di Majorana con le stesse condizioni al contorno. Il fattore 2
normalizza ad uno il primo termine del carattere dell’ identità quando si somma su
tutte le strutture di spin ν = 2, 3, 4, per avere una funzione di partizione covariante
modulare. La teoria conforme descritta dall’ azione (5.8) ha carica centrale c = 1,
come è chiaro dalla (5.9).
Come anticipato, i campi D(z), ¯ D(¯z) hanno una rappresentazione ([40], ad esem-
pio) come operatori di vertice, che sono i campi primari di una teoria bosonica,
c = 1:
D(z) = : e iφ(z) : hD = 1
2 , ¯ hD = 0 (pesi conformi di D); (5.12)
¯D(¯z) = : e −i ¯ φ(¯z) : hD = 0, ¯ hD = 1
2
(pesi conformi di ¯ D). (5.13)
Il campo scalare bosonico è ϕ(z, ¯z) = φ(z) + ¯ φ(¯z) ∈ R. Dall’ azione della teoria
S[φ] = 1
8π
T d2 x ∂µϕ∂ µ ϕ, si ottiene il propagatore:
〈φ(z)φ(w)〉 = − log(z − w), (5.14)