entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 6. PROPRIETÀ DELL’ ENTROPIA DI ENTANGLEMENT 90
ding dell’ entropia di entanglement S, in presenza dello stato eccitato |h〉:
∆S = 1 − n d
log〈h|h〉z = −
dn n=1
d
dn n=1
= 2h 1 + 1
2
− x
2h log
1
2 − x 1
2
1
− x 2n − x 1
2n
1
2 + x
log xx− 1
2
1
− x 2 − x 1
2
(6.60)
. (6.61)
L
i Passando alle variabili sul cilindro u = 1, v = e R , l’entropia di entanglement (6.61)
si riscrive:
Per h = 1
2
∆S = 2h 1 − L L πL
cot = 2h 1 −
2R 2R
Λ
πL
cot . (6.62)
Λ
1
e molteplicità dello stato | 〉, uguale a 4 come espressa dalla funzione
2
di partizione (6.21) nel settore ν = 3 questo risultato coincide con il coefficiente
della (6.39).
Ce
L
Λ
Abbiamo quindi mostrato come riottenere l’entropia termica del primo stato
fermionico con argomenti generali della CF T e delle sue rappresentazioni. Questo è
solo il primo passo per ottenere un’espressione Hamiltoniana generale dell’ entropia
di entanglement, analoga a quella termica (Cap.2). Restano da interpretare gli altri
stati eccitati nella ˜ S3(q), (6.2).
6.7 Entanglement del fermione di Majorana
Consideriamo l’elemento di matrice densità ridotta nel settore ν = 3 per i due
fermioni indipendenti di Majorana ψ1, ψ2 sul toro:
ρ M A (ψ1−, ψ1+)ρ M A (ψ2−, ψ2+) =
1
[Z 1 1
, 2 2
] 2
C(0,L)
D[ψ1ψ2] e −S[ψ1]−S[ψ2] , (6.63)
dove le condizioni C(0, L) sono sullo stesso taglio come nella (4.10) per ognuno
dei due campi. Osservando le espressioni (6.21) e (5.8) della funzione di partizione
e dell’ azione del fermione di Dirac sul toro nel settore di spin ν = 3 l’integrale