entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali
entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali
entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 12<br />
del piano z nel cil<strong>in</strong>dro <strong>di</strong> circonferenza 2πR con coor<strong>di</strong>nata w.<br />
z<br />
w = R logz<br />
Figura 1.3: Trasformazione conforme descritta. Le variabili t ed x sul cil<strong>in</strong>dro<br />
corrispondono all’ or<strong>di</strong>nario tempo e spazio<br />
Il cil<strong>in</strong>dro è lo spazio-tempo <strong>di</strong> una teoria quantistica (1+1) <strong>di</strong>mensionale con<br />
con<strong>di</strong>zioni perio<strong>di</strong>che al contorno spaziali e l’evoluzione temporale lungo l’asse del<br />
cil<strong>in</strong>dro corrisponde al moto ra<strong>di</strong>ale nel piano. La trasformazione al cil<strong>in</strong>dro agisce<br />
<strong>in</strong>oltre sul tensore energia impulso e caratterizza il ruolo dei suoi mo<strong>di</strong> nelle due<br />
geometrie. Applicando la trasformazione (1.30) si ottiene:<br />
w<br />
t<br />
x<br />
2πR<br />
w=t+ix<br />
Tcil(w) = 1<br />
R2 <br />
z 2 Tpiano(z) − c<br />
<br />
. (1.35)<br />
24<br />
Il generatore delle traslazioni temporali nel cil<strong>in</strong>dro è dato dall’ hamiltoniana:<br />
Hcil = 1<br />
2πR<br />
dx (Tcil)tt =<br />
2π 0<br />
1<br />
2π<br />
L<br />
0 <br />
dx Tcil(w) + ¯ Tcil( ¯w) <br />
<br />
d ¯w ¯ <br />
Tcil( ¯w)<br />
= 1<br />
dw Tcil(w) −<br />
2πi t=cost<br />
t=cost<br />
<br />
1<br />
<br />
= dz zTpiano(z) −<br />
2πiR C0<br />
c 1<br />
<br />
+ c.c. (1.36)<br />
24 z<br />
= 1<br />
<br />
L0 +<br />
R<br />
¯ L0 − c<br />
<br />
. (1.37)<br />
12<br />
Abbiamo ottenuto che il generatore delle <strong>di</strong>latazioni nel piano L0 è legato all’<br />
hamiltoniana nel cil<strong>in</strong>dro 8 . Poiché gli stati della teoria conforme hanno una def<strong>in</strong>ita<br />
<strong>di</strong>mensione <strong>di</strong> scala e qu<strong>in</strong><strong>di</strong> sono autostati <strong>di</strong> L0 risulta conveniente considerare l’<br />
<br />
8 1 1πR<br />
Analogamente si puo’ provare che P = 2π dx (Tcil)tx = 0<br />
1<br />
R (L0 − ¯ L0) è il generatore delle<br />
traslazioni sul cil<strong>in</strong>dro, rotazioni nel piano.