entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 3. ENTANGLEMENT IN MECCANICA QUANTISTICA 41
• è invariante per trasformazioni unitarie in U(dA) ⊗ U(dB) (cambi di base Ul),
• è continua nei λi,
• è non estensiva, valendo dalla (3.12), SρA = SρB ,
• è additiva, se |ψ〉 e |φ〉 ∈ HAB Sψ⊗φ(A) = Sψ(A) + Sφ(A).
Queste proprietà identificano univocamente la (3.19), [22], come misura di entan-
glement per stati puri bipartiti.
3.4 Entropia delle miscele
Uno stato miscela, descritto dalla matrice densità ρ, si dice entangled se 3 :
ρ =
pi |ψi〉〈ψi| con |ψi〉 fattorizzato ∀i, (3.20)
i
questa definizione è l’estensione naturale del caso puro. Le pi sono probabilità
classiche associate alla preparazione dello stato |ψi〉 ∈ HA ⊗HB. Una possibile (ma
non unica) quantificazione dell’ entanglement per stati miscela è l’ entanglement
di formazione, [24]:
E(ρ) ≡ min
i
pi S ρ i A , (3.21)
dove S ρ i A è l’ entropia di entanglement di |ψi〉 ed il minimo è inteso su tutte le
possibili rappresentazioni di ρ del tipo (3.20). Questa quantità è nulla se e se solo
se tutti gli |ψi〉 sono fattorizzati. In generale E(ρ) è difficilmente calcolabile, una
formula esplicita costruita dagli autovalori della matrice densità ρ, [25], è nota
solo per dimensioni degli spazi di Hilbert dei due sottosistemi dA, dB uguali a due
(qbits).
Illustriamo adesso l’ entanglement di miscele in un esempio semplice: consi-
deriamo una miscela termica di due spin a temperatura T = 1 , [26] e [27], con
β
3 L’ analogo della decomposizione di Schmidt è un criterio che permetta di stabilire per quali
classi di matrici densità la (3.20) è verificata, per un’ introduzione si consulti [23].