entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

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CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 14 cui hanno sede le sue rappresentazioni irriducibili (esattamente come per l’algebra del momento angolare). Concludiamo notando che i generatori L0, L1, L−1, forma- no la sottoalgebra SU(2) dell’algebra di Virasoro delle dilatazioni, delle traslazioni e delle trasformazioni conformi speciali nel piano (l’estensione centrale si annulla). Ripetendo l’argomento per il commutatore [Ln, φh] ed utilizzando l’OP E dei campi primari si ha infatti: [λnLn, φh(z)] = λnh(n+1)z n φh(z)+λnz n+1 ∂φ(z) = e ritroviamo ε(z) = λ1z 2 + λ0z + λ−1. ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ λ0(hφh + z∂φh) n = 0, λ1(2hzφh + z 2 ∂φh) n = 1, λ−1∂φh n = −1, (1.40) 1.2.5 Cenni alla teoria delle rappresentazioni dell’ algebra di Virasoro Indichiamo con Γ l’algebra dei generatori Ln di Virasoro. Complessivamente l’ algebra conforme in due dimensioni è il prodotto Γ ⊗ ¯ Γ, dove ¯ Γ è generata dagli ¯ Ln, modi di ¯ T (¯z), ed ha la stessa carica centrale 9 c = ¯c. Il commutatore [Ln, ¯ Lm] = 0 è equivalente a 〈T (z) ¯ T ( ¯w)〉 = 0, dunque ci si puo’ limitare a studiare Γ. Come già anticipato, lo spazio di Hilbert su cui agiscono gli operatori Ln è lo spazio degli stati della teoria quantistica definita sul cilindro (vedi par. 1.2.4). In partico- lare definito la stato di vuoto |0〉 invariante per trasformazioni conformi regolari (L0|0〉 = L±1|0〉 = 0), esisteranno degli stati |h〉 detti pesi massimi (heightest weight states) prodotti dall’ applicazione dei campi primari al vuoto: φh(z = 0)|0〉 ≡ |h〉. 9 In una teoria con azione reale e priva di anomalia gravitazionale, [11].
CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 15 La scelta z = 0 corrisponde alla scelta del tempo t = −∞, stati asintotici, in quantizzazione radiale. A partire dai pesi massimi è possibile costruire lo spet- tro completo dell’ hamiltoniana Hcil (vedi par.1.2.4) o, eventualmente, identificare tutte le dimensioni di scala ∆ dei campi della teoria invariante conforme al punto critico (par. 1.2.1). Infatti essi sono autostati del generatore delle dilatazioni nel piano L0 con autovalore dato proprio da h: L0φh(0)|0〉 = [L0, φh(0)]|0〉 = hφh(0)|0〉 = h|h〉. (1.41) Il settore dello spazio di Hilbert (denominato Verma modulo) discendente dal peso massimo |h〉 è ottenuto tramite l’ applicazione degli Ln (n < 0) su di esso. Risulta infatti Ln|h〉 = 0, ∀n > 0. Tale proprietà è conseguenza di: e di: Si ha invece per n > 0: Ln|0〉 = 0, ∀n > 0 per la regolarità di T (0)|0〉, Lnφh(0)|0〉 = [Ln, φh(0)]|0〉 = 0, ∀n > 0. L0L−n|h〉 = [L0, L−n]|h〉 + hL−n|h〉 = (n + h)|h〉. Lo spazio di Hilbert della teoria conforme è una collezione di torri conformi prodotte dall’ applicazione di stringhe degli L−n ai pesi massimi. Ad esempio, L−n1...L−nk |h〉 è uno stato al livello N = k i=1 nk della torre di |h〉 detto stato discendente ed il suo autovalore di L0 è (h + N). Il problema matematico principale nello studio delle rappresentazioni dell’ algebra di Virasoro è la possibilità di avere tra gli stati discendenti dei vettori |χ〉 tali che Ln|χ〉 = 0, ∀n > 0. Questi stati |χ〉 sono detti “vettori nulli”perché a norma nulla ed ortogonali a tutti gli altri stati: essi possono formare dei nuovi pesi mas-
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BIBLIOGRAFIA 112 [31] V. Korepin. U
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BIBLIOGRAFIA 114 [53] P. Fendley, M
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