entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 7. SISTEMI (1+1) E (2+1) DIMENSIONALI 95
fra di loro con fasi di Aharanov-Bohm indipendenti dalla distanza:
e H Aµ dx µ
= e i R B dσ = e i 2π
k , (7.4)
che assumono valori frazionari (k = 1). Queste fasi determinano la statistica
frazionaria delle eccitazioni, θ
π
bosonica, θ
π
= 0, e fermionica θ
π
1
1
= (ad esempio, k k
1 = che interpola fra la statistica
3
= 1). Le eccitazioni con statistica quantistica
frazionaria (e carica frazionaria) sono dette “anyons”e si osservano nell’ effetto Hall
quantistico [50]. Esse sono state inoltre proposte per sistemi antiferromagnetici
detti “liquidi di spin”e reticoli di giunzioni Josephson, [48].
Per anioni n,
n ∈ Z, la degenerazione dello stato fondamentale (ordine topologico)
k
nello spazio compatto del toro è pari a k, [48]. Questa degenerazione assicura la
compatibilità del vuoto con la presenza di eccitazioni anioniche in una superficie
compatta che contiene percorsi chiusi non contraibili.
7.3 Entropia di entanglement topologica
È naturale aspettarsi che l’ordine topologico sia legato ad un’entropia a tempera-
tura nulla e quindi all’entanglement. Nel lavoro [51] è stata dimostrata la seguente
relazione. Consideriamo lo stato fondamentale dell’ effetto Hall frazionario nel
piano illimitato ed effettuiamo la bipartizione nelle regioni A e B, dove A è un
disco di circonferenza L centrato nell’ origine e B il resto del sistema. Poiché
lo stato fondamentale ha un gap ci aspettiamo la legge di area per l’entropia di
entanglement:
SρA
= k L
a
1
− γ + O( ). (7.5)
L
Il coefficiente k è non universale, dipendente dalla scelta del cut-off (cfr. Cap. 4).
Il termine costante γ è, sotto certe condizioni, universale e puo’ essere isolato con-
siderando combinazioni lineari dell’ entropia di entanglement per diverse partizioni