entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 5. FERMIONI SUL TORO 73
Si ottiene confontando quest’espressione con la (5.27):
Zcirc(1)〈V0m(z1, ¯z1)V0,−m(z2, ¯z2)〉 = 1
2
θ
′
1(τ)
θ1(z12|τ)
m 2
2 1
|η(τ)| 2
4 mz
|θν 2
τ | .
2
ν=1
(5.29)
Ponendo m = 0, si ha l’identità (5.19). È inoltre possibile adesso isolare il
correlatore in ogni settore di spin ν = 2, 3, 4, [40]:
Zcirc(1)〈V0m(z1, ¯z1)V0−m(z2, ¯z2)〉 =
4
Zν〈V0m(z1, ¯z1)V0−m(z2, ¯z2)〉 ⇒
ν=1
⇒ 〈V0m(z1, ¯z1)V0−m(z2, ¯z2)〉ν =
θ
′
1(τ)
θ1(z12|τ)
m 2
2
θν
mz τ
2
θν(τ)
2
.
(5.30)
La (5.30), valida per ν = 1, è un’espressione quadratica che soddisfa la normaliz-
zazione (5.20) in ogni settore. Si ha dunque per l’ entropia di entanglement di un
fermione di Dirac sul toro:
Sν
L β d
, = −
Λ Λ dn
n=1
n−1
2
k=− n−1
2
θ
log
′
1(τ)
θ1(L|τ)
2k 2
n 2
θν
kLτ
2
n
. (5.31)
θν(τ)
Quest’ espressione esplicita, ottenuta nel lavoro [1], presenta molti aspetti fisici
interessanti che saranno analizzati nel seguito.
5.4.2 Calcolo dell’ entropia nel settore ν=3
Il logaritmo 2 del rapporto di funzioni θν, che compare nell’ espressione finale dell’
entropia di entanglement (5.31), puo’ essere espanso con le formule, [42]:
∞
θ3(z|τ) (−1)
log
= 4
θ3(0|τ)
m=1
m q
m
m/2
1 − qm sin2 (mπz), (5.32)
θ1(z|τ)
log
θ ′
1
∞ 1 q
= log sin πz + 4
1(τ) π m
m
1 − qm sin2 (mπz). (5.33)
m=1
2 Per τ immaginario e z reale le funzioni di Jacobi sono reali.