entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 6. PROPRIETÀ DELL’ ENTROPIA DI ENTANGLEMENT 84
densità termica:
ρT = 1
Z (|0〉〈0| + qh |h〉〈h| + ...) (6.33)
ρA = 1
Z (TrB|0〉〈0| + q h TrB|h〉〈h| + ...) (6.34)
dove si è posto nulla l’ energia del vuoto ed è importante osservare che la norma-
lizzazione delle tracce è in entrambi i casi la funzione di partizione Z. Lo sviluppo
a basse temperature dell’ entropia termica S T 3 (q) è:
S T
3 (q) = 4 1 − β ∂
∼ 4q 1
2
∂β
1 + πβ
Λ
∞
m=1
log 1
(m−
1 + q 2 )
≡ 4q 1
2 Ct
β
Λ
(6.35)
, β → ∞, (6.36)
(si noti che S T 3 (0) = 0 perché lo stato fondamentale è non degenere per ν = 3).
La potenza q 1
2 corrisponde all’eccitazione di un fermione, ovvero allo stato di peso
massimo di Virasoro:
prodotto dal campo fermionico stesso.
| 1
2 〉 ≡ eiφ(0) = D(0)|0〉, (6.37)
L’analogo sviluppo dall’ entropia di entanglement, dato dalle espressioni per S0(q),
(6.1) e ˜ S3(q), (6.2) conduce a:
S3(q → 0) ∼ 1
3 log
Λ
π
= 1
3 log
Λ
π
πL
sin
Λ
sin πL
Λ
+ 4q 1
2 1 − πL
+ 4q 1
2 Ce
Λ cot
πL
(6.38)
Λ
L
. (6.39)
Λ
L’ interpretazione fisica del primo termine dello sviluppo è una variazione dell’en-
tropia di entanglement quantificata dal coefficiente Ce (entropia di entanglement
selettiva) dovuta allo stato | 1
1
〉 nello spettro della teoria con probabilità q 2 .
2