entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 4. ENTROPIA DI ENTANGLEMENT IN QFT 1+1 59
ripete la derivazione per un sistema M partito con (M + 1) bordi si ottiene il
risultato (4.42) moltiplicato per M+1
2 , essendo l’area in d = 1, semplicemente il
numero dei bordi, [28].
È da sottolineare che la (4.42) è stata ottenuta nei limiti a ≪ ξ ≪ L.
4.7 Espressione dell’ entropia di entanglement
mediante campi di twist
La relazione principale utilizzata per il calcolo dell’ entropia al par. 4.3:
C (n) (0,L)
D (n) [ψ] e −S(n) [ψ] ∝ 〈σ(L)˜σ(0)〉C ≡
(n) −S D [ψ] e (n) [ψ] σ(L)˜σ(0)
D (n) [ψ]e−S (n) , (4.43)
[ψ]
definisce il campo di twist σ(z, ¯z) (˜σ è l’antitwist). Il campo di twist è un operatore
che inserito nell’ integrale funzionale ne modifica le condizioni al contorno. Un’
interpretazione della funzione di partizione su una superficie di Riemann ad n fogli
come funzione a due punti di un unico campo di twist è lecita in virtù della (4.18).
In particolare essa mostra che σ(u, ū) è un campo primario e che le sue dimensioni
conformi al punto critico sono date da:
hσ = ¯ hσ = c
n −
24
1
. (4.44)
n
Questo argomento non è più utilizzabile quando si vuole calcolare l’entropia su
altre geometrie, come il toro, corrispondente a spazio periodico e temperatura
finita. In questo caso, la superficie di Riemann per le n repliche R n è l’unione di
n tori e quindi è compatta. Questa superficie non è mappabile nell’ intero piano
complesso C o copie di esso, come richiesto dall’ argomento del par. 4.5. In questo
paragrafo presenteremo un metodo diverso, che permette il calcolo dell’ entropia
sul toro (Cap.5); questo argomento alternativo è stato finora applicato solamente
per teorie libere fermioniche e bosoniche (c=1), [35] e [36].