entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

APPENDICE A. FUNZIONI ELLITTICHE DI JACOBI E PRIME FORM 102
Le funzioni θν(0|τ) possono essere espresse come prodotti infiniti tramite l’ identità
di Jacobi, [3]:
∞
(1 − q n )(1 + q
n=1
n− 1
2 w)(1 + q
n− 1
2 w −1 ) =
Si ottiene ponendo w = 1, −1 e q 1
2 rispettivamente:
θ3(0|τ) =
θ4(0|τ) =
∞
(1 − q n )(1 + q
n=1
∞
(1 − q n )(1 − q
n=1
θ2(0|τ) = 2q 1
8
∞
n=1
n− 1
n− 1
∞
n=−∞
q 1
2 n2
w n . (A.6)
2 ) 2 , (A.7)
2 ) 2 , (A.8)
(1 − q n )(1 + q n ) 2 . (A.9)
Si osservi che la forma di prodotto compare nelle funzioni di partizione Zν, mentre
quella di serie è utilizzata nella prova della bosonizzazione (5.19).
Dal prodotto delle tre θν(0|τ) ≡ θν(τ) si definisce la funzione η(τ) di Dedekind:
vale inoltre l’ identità, [54]:
η(τ) = 3
θ2(τ)θ3(τ)θ4(τ)
⇒
2
(A.10)
⇒ η(τ) = q 1
∞
24 (1 − q n ); (A.11)
n=1
θ ′ 1(τ) = πθ2(τ)θ3(τ)θ4(τ) = 2πη 3 (τ). (A.12)