entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 5. FERMIONI SUL TORO 69
e mediante il teorema d Wick, Appendice C, il corretto propagatore fermionico:
〈D ∗ (z)D(w)〉 = 〈e −iφ(z) e iφ(w) 〉 = 1
. (5.15)
z − w
Sul toro la bosonizzazione del fermione di Dirac ha tuttavia un significato molto
più preciso. Considerando il campo ϕ(z, ¯z) compattificato su un cerchio:
risulta per la funzione di partizione bosonica:
con
Zcirc(R) = N
=
ϕ(z, ¯z) ≡ ϕ(z, ¯z) + 2πR, R ∈ R, (5.16)
1
|η(τ)| 2
D[ϕ] e −S[ϕ]
e,m∈Z
he,m ≡ α 2 e,m = 1
e
2 R
¯he,m ≡ ¯α 2 e,m = 1
2
q he,m ¯q ¯ he,m , q = e 2πiτ = e −2π β
Λ ; (5.17)
2 mR
+ ,
2
e mR
−
R 2
pesi conformi dei campi primari Ve,m della teoria. La (5.17) mostra la struttura
tipica di una quantità calcolata sul toro e la tecnica con cui è determinata ha il
seguente significato fisico. Il campo ϕ(z, ¯z) è separato in due parti, ϕ = ϕqu + ϕmn.
La prima, detta quantistica che contiene le oscillazioni intorno alla configurazione di
vuoto è doppiamente periodica lungo i cicli del toro e produce 1
det∆ opportunamente
regolarizzato. La seconda, detta classica specifica la configurazione di vuoto tramite
gli interi (m, n):
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2
,
ϕmn(z + 1, ¯z + 1) = ϕmn(z, ¯z) + 2πRm,
ϕmn(z + τ, ¯z + ¯τ) = ϕmn(z, ¯z) + 2πRn.
(5.18)