entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 14
cui hanno sede le sue rappresentazioni irriducibili (esattamente come per l’algebra
del momento angolare). Concludiamo notando che i generatori L0, L1, L−1, forma-
no la sottoalgebra SU(2) dell’algebra di Virasoro delle dilatazioni, delle traslazioni
e delle trasformazioni conformi speciali nel piano (l’estensione centrale si annulla).
Ripetendo l’argomento per il commutatore [Ln, φh] ed utilizzando l’OP E dei campi
primari si ha infatti:
[λnLn, φh(z)] = λnh(n+1)z n φh(z)+λnz n+1 ∂φ(z) =
e ritroviamo ε(z) = λ1z 2 + λ0z + λ−1.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
λ0(hφh + z∂φh) n = 0,
λ1(2hzφh + z 2 ∂φh) n = 1,
λ−1∂φh
n = −1,
(1.40)
1.2.5 Cenni alla teoria delle rappresentazioni dell’ algebra
di Virasoro
Indichiamo con Γ l’algebra dei generatori Ln di Virasoro. Complessivamente l’ al-
gebra conforme in due dimensioni è il prodotto Γ ⊗ ¯ Γ, dove ¯ Γ è generata dagli ¯ Ln,
modi di ¯ T (¯z), ed ha la stessa carica centrale 9 c = ¯c. Il commutatore [Ln, ¯ Lm] = 0
è equivalente a 〈T (z) ¯ T ( ¯w)〉 = 0, dunque ci si puo’ limitare a studiare Γ. Come già
anticipato, lo spazio di Hilbert su cui agiscono gli operatori Ln è lo spazio degli
stati della teoria quantistica definita sul cilindro (vedi par. 1.2.4). In partico-
lare definito la stato di vuoto |0〉 invariante per trasformazioni conformi regolari
(L0|0〉 = L±1|0〉 = 0), esisteranno degli stati |h〉 detti pesi massimi (heightest
weight states) prodotti dall’ applicazione dei campi primari al vuoto:
φh(z = 0)|0〉 ≡ |h〉.
9 In una teoria con azione reale e priva di anomalia gravitazionale, [11].