entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 4. ENTROPIA DI ENTANGLEMENT IN QFT 1+1 58
A grandi distanze R ≫ ξ è invece ragionevole supporre:
risulta perciò:
0
R
−
Fn, Gn ∼ o(e ξ ) → 0, (4.37)
∞
d(R 2 ) d
dR2 [Gn + 4Fn] = − c 1
(1 − ). (4.38)
6 n2 Tale integrale puo’ essere trasformato con la (4.34) sfruttando l’ invarianza per
rotazioni (indipendenza dal foglio di R n ) in un integrale su tutta la superficie di
Riemann:
R n
RdRdθ [〈Θ(z, ¯z)〉R n − 〈Θ〉1] = − cπ
6
n − 1
. (4.39)
n
Supponiamo adesso di riscalare globalmente la lunghezza di correlazione:
ξ → ξ(1 − ε), (R → R(1 + ε)),
m → m(1 + ε); ε = δm
m
= δ log m.
Dall’ invarianza per riparametrizzazioni della funzione di partizione si ha:
ε d
M
2 x 〈Θ〉M = −2πδε log Z, (4.40)
dove M è una qualunque superficie di Riemann. Otteniamo quindi:
m d
dm (log Zn − n log Z) = c
n −
12
1
n
e finalmente per l’ entropia di entanglement:
S = c
6 log
⇒ Zn
c
= (ma) 12(n−
Zn 1
n) , (4.41)
ξ
. (4.42)
a
Sistemi fisici con un gap di massa a T = 0, presentano un’ entropia di entanglement
indipendente dalla lunghezza L in accordo con la legge dell’ area. In effetti se si