entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 6. PROPRIETÀ DELL’ ENTROPIA DI ENTANGLEMENT 82
6.3.2 Limite termico negli altri settori di spin
Il limite L → Λ, nel settore ν = 2, si effettua analogamente nell’ espressione ˜ S2(˜q),
(6.7). Si ottiene ancora l’entropia termica di questo settore:
lim
L
Λ →1
˜S2(˜q) = S T 2 (β), (6.24)
espressa dalla derivata del logaritmo della funzione di partizione, (vedi par.6.3.1):
1
θ4
− τ
Z2(˜q) =
η − 1
τ
2
1
−
= ˜q 12
∞
m=1
1
m−
(1 − ˜q 2 ) 4 . (6.25)
Per il settore ν = 4, diamo prima l’espressione dell’ entropia termica,
S T 4 (β) =
1
θ2
− τ
Z4(˜q) =
η − 1
τ
2
=
∞
m=1
4˜q 1
6 (1 + ˜q m ) 4 , (6.26)
1 − β ∂
log Z4(˜q) (6.27)
∂β
= 2 log 2 − 2π
3β
+ 4 1 − ∂
∞
2πmL
−
log(1 + e β ). (6.28)
∂β
m=1
Questo risultato si ottiene dal limite L → Λ dell’ espressione ˜ S4(˜q), (6.8), utiliz-
zando l’ identità:
2
∞
m=1
m πL
(−1)
β
coth πmL
β
= −πL
β
+ 4π
∞
m=1
m L
(−1)
β
1
e 2πmL
β − 1
che si puo’ dimostrare usando la regolarizzazione: ∞
m=1 (−1)m = − 1
2 .
, (6.29)