entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

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CAPITOLO 2. TEORIE CONFORMI CON BORDO (BCFT) 30 ricaviamo: 〈˜j|h〉〉 = Sjh √ . (2.20) S0h I coefficienti B ˜j h sono quindi espressi in termini degli elementi della matrice modu- lare Shh ′: |˜j〉 = Combinando la (2.15) e la (2.21) si ricava: Essendo S 2 = 1, otteniamo infine: i h Sjh √ |h〉〉. (2.21) S0h n i jkSil = 〈 ˜ k|l〉〉〈〈l|˜j〉 = SklSlj n i jk = l SlkSljSli S0l S0l . (2.22) ∈ N. (2.23) Abbiamo quindi dimostrato che i coefficienti interi ni jk , dello sviluppo della funzione di partizione nel canale aperto, 2.4, sono diagonalizzati dalla matrice Sij ed hanno autovalori λ (i) l = Sli S0l (nel caso di funzione di partizione diagonale nel bulk). Un altro risultato importante delle CF T razionali è l’ identità di Verlinde [18], N i jk = l SlkSljSli S0l , (2.24) che esprime i coefficienti dell’ algebra di fusione N i jk , (1.46) e li identifica con gli ni jk . In conclusione i coefficienti di fusione parametrizzano la funzione di partizione nel canale aperto: esiste una condizione al bordo conforme per ogni campo primario nel bulk e questa seleziona la propagazione degli stati di bulk in base alle regole di fusione. Un argomento intuitivo per l’ uguaglianza tra gli n i jk e gli N i jk Figura 2.5. è fornito in
CAPITOLO 2. TEORIE CONFORMI CON BORDO (BCFT) 31 x= 2πR z 01 01 φ 0l 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 lk 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 l 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 01 000000 111111 01 0 1 N i t φ 01 01 0k x=0 Figura 2.5: A t=−∞, le condizioni al contorno sono scelte in modo da propagare solo gli stati della rappresentazione costruita dal campo identità 1. Ad un certo istante, ad x = 2πR, è inserito l’ operatore di bordo φ0l(x = 2πR); esso applicato al vuoto produce l’h.w. |l〉 e dunque solo i suoi discendenti vengono propagati. Ad un tempo ancora successivo, ad x=0, sugli stati della rappresentazione l dell’ algebra di Virasoro è applicato il campo primario di bordo φ0k. Si propagheranno dopo stati nella rappresentazione i con molteplicità data proprio da N i lk , con φ0l × φ0k = N i lk φ0i. Esempio: modello di Ising La funzione di partizione sul toro: Z = |χ0| 2 + |χ 1 | 2 2 + |χ 1 | 16 2 identifica tre settori diagonali h = ¯ h. In base alle formule del paragrafo precedente, vi corrispondono 3 stati di bordo: |˜0〉, |˜ε〉, |˜σ〉, espressi in termini degli stati di Ishibashi |0〉〉, |ε〉〉, |σ〉〉 nel seguente modo: |˜0〉 = 1 √ 2 |0〉〉 + 1 √ 2 |ε〉〉 + 1 4√ 2 |σ〉〉 ≡ |+〉, (2.25) |˜ε〉 = 1 √ 2 |0〉〉 + 1 √ 2 |ε〉〉 − 1 4√ 2 |σ〉〉 ≡ |−〉, (2.26) |˜σ〉 = |0〉〉 − |ε〉〉 ≡ |f〉, (2.27) (2.28) dove i coefficienti dello sviluppo sono ottenuti dalla matrice S, nella base dei caratteri (χ0, χ 1 , χ 1 ): 2 16 ⎛ ⎜ S = ⎜ ⎝ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 √ 2 − 1 √ 2 1 √ 2 − 1 √ 2 0 ⎞ ⎟ . (2.29) ⎠
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Appendice B Calcolo di un determina
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Appendice C OPE tra operatori di ve
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BIBLIOGRAFIA 110 [9] J. Cardy. Scal
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BIBLIOGRAFIA 112 [31] V. Korepin. U
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BIBLIOGRAFIA 114 [53] P. Fendley, M
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