entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 6. PROPRIETÀ DELL’ ENTROPIA DI ENTANGLEMENT 81
per derivazione della funzione di partizione termica, nel settore corrispondente 1 :
1
θ3
− τ
Z3(˜q) =
η − 1
τ
2
1
−
= ˜q 12
∞
m=1
m−
1 + ˜q 1 4. 2
(6.21)
Per ricavare l’ identità ˜ S3(L = Λ) = S T (β) è sufficiente osservare che:
∞
log 1 + e
m=1
2πΛ 1
− (m− β 2 ) = −
∞ (−1) j
e confrontare le derivate rispetto a β di entrambi i membri.
j=1
Alcune considerazioni emergono da questi risultati:
j
˜q j
2
. (6.22)
1 − ˜q j
• Il limite L → Λ di S3 non è equivalente a L → 0, perché non vale la proprietà
S(A) = S(B) per l’entanglement di uno stato misto. Per il termine S0 che
descrive il contributo dello stato fondamentale (più correzioni di taglia finita)
questa proprietà è invece verificata: S0(L) = S0(Λ − L).
• Il contributo all’ entanglement degli stati eccitati della teoria conforme h =
m
2 , m = 1, 2, ... contenuto nel termine ˜ S3 riproduce correttamente l’entropia
termica, in accordo con ρA → ρT .
• Il termine S0 corrispondente al contributo dell’entropia di entanglement a
temperatura nulla diverge nel limite L → Λ e deve essere sottratto. Osser-
viamo che le espressioni di Zν(β), S T ν (β) ottenute dal calcolo di CF T sono
automaticamente sottratte dei termini dominanti dipendenti dal cut-off. Il
limite L
Λ → 1 di ρA richiede un’ulteriore regolarizzazione della traccia perché:
ρA = TrBρT ∼ ρT TrB1, L
Λ
→ 1. (6.23)
1 Questa funzione di partizione normalizza ad uno la degenerazione dello stato di vuoto |0〉.