entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 18
Le classi di universalità sono ulteriormente specificate dall’ insieme dei valori
delle coppie (h, ¯ h) che sono possibili nella teoria prendendo coppie di valori della
tabella di Kac. Ad esempio, il modello di Ising al punto critico è descritto dal primo
modello minimale m = 3, c = 1
2
e le coppie ammesse per le due algebre di Virasoro
sono quelle con h = ¯ h. Se le dimensioni di Kac sono cioè h1,1 = 0, h1,2 = h2,1 = 1
2 ,
h2,2 = 1
16 , analogamente per ¯ hp,q, i campi primari dell’ identità (1), dell’ energia
(ε) e dello spin (σ) sono rispettivamente identificati con φ h ¯ h = φ00, φ 1
1
2 2
e φ 1
1
16 16
Per un generico valore di c sono possibili più di una scelta di coppie (h, ¯ h). Questo
contenuto operatoriale delle teorie conformi si puo’ determinare completamente fa-
cendo ulteriori richieste fisiche: una possibilità è quella di richiedere che la funzione
di partizione sulla geometria toroidale sia correttamente definita, ovvero invariante
per trasformazioni modulari, [13].
1.3 Invarianza modulare
Un toro T è una superficie di Riemann di genere uno che puo’ essere pensata come
il quoziente di C rispetto ad un reticolo intero Λ 10 (vedi Figura 1.5):
T = C
, (1.47)
Λ
con Λ = {z ∈ C t.c. z = a + bτ; a, b ∈ Z, τ ∈ H}, H essendo il semipiano
superiore, Im(τ) > 0.
La definizione di T secondo la (1.47) non è univocamente associata alla Figura
1.5: lo stesso quoziente C
Λ
puo’ essere ottenuto per valori diversi del parametro
modulare τ, vedi Figura 1.7, legati da trasformazioni discrete. Tali trasformazioni
corrispondono a cambiare i generatori del reticolo Λ, senza che esso venga modi-
ficato e sono dette trasformazioni modulari 11 . Il gruppo modulare è isomorfo a
10 Più propriamente del gruppo delle traslazioni che lo genera.
11 Il gruppo modulare è il quoziente dei diffeomorfismi della metrica del toro rispetto ai
diffeomorfismi connessi all’ identità.
.