entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 6. PROPRIETÀ DELL’ ENTROPIA DI ENTANGLEMENT 88
ξ(ε) = 1
n log
ξ(σ2 − ε) = 1
n log
ε
i e R − 1
ε
i e R − ei σ2 R
ε
−i e R − e−i σ2 R
ε
−i e R − 1
, (6.49)
. (6.50)
La corrispondente lunghezza dell’ anello ˜ L = ξ(σ2 − ε) − ξ(ε), analoga della (6.42)
è adesso:
˜L = ξ(σ2 − ε) − ξ(ε) = 1
n
2
σ2
log4R sin2 . (6.51)
ε2 2R
Applicando nuovamente la definizione di entropia di entanglement (6.47), si ha:
S = 1
3 log2R
σ2
sin + cost, (6.52)
ε 2R
che coincide per 2R = Λ
π e σ2 = L con la (4.23). Abbiamo quindi riottenuto i
risultati di Cardy-Calabrese studiando direttamente la funzione di partizione delle
repliche Zn, invece del corrispondente valore d’aspettazione 〈T (n) 〉Rn, sua derivata
prima.
Questa formulazione è utile per stimare i contributi degli stati eccitati. Con-
sideriamo l’espressione della potenza n-esima della matrice densità ridotta ρA in
presenza dello stato eccitato |h〉:
ρ n A =
nc
q 12
Zn
TrB |0〉〈0| + q h n β
β
−2π −
|h〉〈h| ; q = e Λ = e R . (6.53)
Poiché gli stati |0〉 e |h〉 sono ortogonali i loro contributi sono separati:
ρ n A =
nc
q 12
Zn n n TrB|0〉〈0| + TrB|h〉〈h| . (6.54)
Supponiamo che l’operazione di traccia sui gradi di libertà del sottosistema B,
che definisce la matrice densità ridotta ρA e successivamente la traccia sui gradi di