entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 3. ENTANGLEMENT IN MECCANICA QUANTISTICA 38
L’entanglement di un generico stato:
|ψA〉 = a11| ↑↓〉 + a12| ↑↓〉 + a21| ↓↑〉 + a22| ↓↓〉, A =
⎛
⎜
⎝ a11 a12
a21 a22
⎞
⎟
⎠ , (3.11)
puo’ essere definito più precisamente nel seguente modo. La matrice A puo’ essere
diagonalizzata mediante la doppia trasformazione unitaria A = UΛV , U, V ∈ U(2)
(decomposizione di Schmidt) ottenendo:
|ψA〉 =
nS
λi|ai〉 ⊗ |bi〉, (3.12)
i=1
dove le fasi degli stati sono scelte in modo da avere coefficienti reali e non negativi
λi, (nell’esempio, |ai〉, |bi〉=| ↑〉, | ↓〉).
In questa base le matrici densità ridotte ρA e ρB, relative ai due sottosistemi
sono entrambe diagonali:
ρA ≡ TrB(|ψA〉〈ψA|) =
ρB ≡ TrA(|ψA〉〈ψA|) =
nS
λi|ai〉〈ai|, (3.13)
i=1
nS
λi|bi〉〈bi|. (3.14)
Lo stato puro |ψA〉, relativo all’ intero sistema si definisce entangled, relativamente
alla bipartizione A, B se le matrici densità ridotte descrivono miscele:
TrAρ 2 A =
i
i=1
λ 2 i = TrBρ 2 B < 1. (3.15)
Poiché Tr|ψA〉〈ψA| = TrAρA = 1, la condizione equivale ad avere un numero di
termini superiore ad uno nella decomposizione di Schmidt (3.12), (nS indice di
Schmidt maggiore di uno).
Utilizziamo le matrici densità ridotte per discutere gli esiti delle misure nei sot-
tosistemi per stati entangled e non entangled. La matrice ρA descrive lo stato del