entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 21
conforme di |h〉 nel seguente modo:
χh(q) ≡
∞
n=0
c
h+n−
dh(n)q 24 , (1.51)
con dh(n) numero di vettori dello spazio di Hilbert della quantizzazione radiale non
nulli al livello n e dh(0) = 1. Risulterà perciò che la funzione di partizione di una
CFT sul toro assume la forma generale:
Z(q) =
Nh, hχh(q)χ¯ ¯ h(¯q); Nh, h¯ ∈ N, (1.52)
h, ¯ h
dove la somma si estende sulle rappresentazioni dell’ algebra di Virasoro. Assu-
meremo che il loro numero sia finito come nel caso dei modelli minimali (1.43).
L’invarianza sotto la trasformazione τ → τ + 1 richiede che le coppie (h, ¯ h) possi-
bili, N h ¯ h = 0, soddisfino h − ¯ h ∈ Z, ovvero i campi fisici devono avere spin intero
(ad esempio, il fermione ψ non è osservabile, il prodotto ψ ¯ ψ lo è).
La richiesta di invarianza sotto la trasformazioni S:
implica delle condizioni più forti.
S : τ → − 1
1
, q → S(q) ≡ ˜q = e−2πi τ ,
τ
Nel caso dei modelli minimali c < 1 i caratteri χh(q) trasformano secondo una
rappresentazione lineare del gruppo modulare, ovvero:
χh(˜q) =
h ′ ∈CF T
Shh ′χh ′(q), S = ±S† ; (1.53)
la somma comprende tutti i campi primari specificati dai pesi conformi di Kac. In
questo caso, le condizioni d’invarianza modulare si riducono ad un problema lineare
discreto che puo’ essere risolto, [14]. La classificazione delle funzioni di partizione
invarianti modulari fissa univocamente il contenuto operatoriale N h ¯ h.