entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 2. TEORIE CONFORMI CON BORDO (BCFT) 28
t
−2πi con ζ = e T :
Tstr(w) − ¯ Tstr( ¯w)
2π
2 |α〉 = − L
T
P n ζ −n −
n
n
¯L P n ¯ ζ −n |α〉 = 0 ⇒ (2.10)
⇒ (L P n − ¯ L P −n)|α〉 = 0, ∀n. (2.11)
Una condizione analoga vale per lo stato |β〉.
Gli stati di bordo possono essere espansi sugli stati delle rappresentazioni con-
formi corrispondenti ai campi primari |h〉 = φh(0)|0〉 e ai discendenti |N, h〉 =
L−n1...L−nk |h〉, i ni = N, che sono una base completa dello spazio di Hilbert nel
settore chiuso. In particolare esisterà una stato di bordo per ogni rappresentazione
{h}. Una soluzione generale (formale) della (2.11) è stata ottenuta da Ishibashi
[17]. Lo stato di Ishibashi |h〉〉 ha l’ espressione:
dove U|h, N〉 = |h, N〉 ∗
|h〉〉 =
|h, N〉 ⊗ U|h, N〉, (2.12)
N
è il coniugato di |h, N〉 ed U l’operatore antiunitario che
commuta con gli Ln. Per n = 0, la (2.11) richiede h = ¯ h, ovvero gli stati di
Ishibashi accoppiano settori olomorfi ed antiolomorfi dell’ algebra di Virasoro con
lo stesso valore di h. Una caratteristica di questi stati è che non sono normalizzabili
e quindi sostanzialmente diversi dagli stati di bulk. Poiché gli stati di Ishibashi
sono ottenuti dalle rappresentazioni di Virasoro, la propagazione nel canale chiuso
assume la semplice forma:
〈〈l|˜q 1
2(LP 0 + ¯ LP c
0 − 12) |h〉〉 = χh(˜q)δlh. (2.13)
Un generico stato di bordo |α〉 si puo’ espandere nella base di stati di Ishibashi che