entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

APPENDICE A. FUNZIONI ELLITTICHE DI JACOBI E PRIME FORM 103
A.2 Funzioni ellittiche. Proprietà di trasforma-
zione sotto S
Le funzioni ellittiche di Jacobi hanno le seguenti regole di trasformazione sotto
τ → − 1 z , z → τ τ :
θ1
θ2
θ3
θ4
z
−
τ
1
τ
z
−
τ
1
τ
z
−
τ
1
τ
z
−
τ
1
τ
da cui segue η − 1
1
= (−iτ) 2 η(τ).
τ
= −i (−iτ) 1 z2
iπ 2 e τ θ1(z|τ) (A.13)
= (−iτ) 1 z2
iπ 2 e τ θ4(z|τ) (A.14)
= (−iτ) 1 z2
iπ 2 e τ θ3(z|τ) (A.15)
= (−iτ) 1 z2
iπ 2 e τ θ2(z|τ), (A.16)
Queste relazioni si ottengono direttamente applicando la formula di Poisson:
n∈Z
e −παn2 +βn 1
= √α
alle espressioni (A.5), (A.4), (A.2) e (A.3).
A.3 Prime Form
La prime form E(z|τ) è l’espressione:
m∈Z
E(z|τ) = θ1(z|τ)
θ ′ 1(τ)
π β
− (m+ α 2πi )2
, (A.17)
e
e−π y2
τ 2 , (A.18)
dove z = x + iy e τ = τ1 + iτ2; essa soddisfa l’equazione differenziale:
∆ log |E(z|τ)| 2 = 4πδ 2 (x) − 4π
τ2
, (A.19)