entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 20
Gli elementi del gruppo modulare sono ottenibili come prodotti dei due gene-
ratori T e S: ⎧ ⎪⎨
⎪⎩
T : τ → τ + 1
S : τ → − 1
τ
che soddisfano le condizioni: (ST ) 3 = S 2 = ±1.
Im (τ)
1
τ+1
Re (τ)
Im (τ)
, (1.49)
1+τ
τ
Re (τ)
Figura 1.7: Le due trasformazioni indicate conducono ad un toro equivalente a
quello della Figura 1.5; esse corrispondono a tagliarlo lungo un ciclo, effettuarvi
una rotazione completa di 2π e riattaccare (twist di Dehn). Sinteticamente nella
prima 1 → 1 e τ → τ + 1, nella seconda τ → τ e 1 → 1 + τ. Notare che l’ area del
toro non è modificata in nessuno dei casi.
Affinché una teoria conforme risulti ben definita sul toro è necessario che la
funzione di partizione Z(τ) sia invariante rispetto alle (1.49). Nel contesto della
quantizzazione radiale Z(τ) è la traccia dell’ operatore di evoluzione tra i due lati
del parallelogramma, ovvero:
Z = Tr e −T H+i∆xP = Tr c
L0−
q 24 ¯q ¯ L0− c
24 , (1.50)
dove si sono usate le relazioni del par. 1.2.4 e si è posto, (vedi Figura 1.6):
q = e 2πiτ , τ = i T ∆x
+
L L .
La (1.50) suggerisce la definizione del carattere di Virasoro associato alla torre