entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

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CAPITOLO 4. ENTROPIA DI ENTANGLEMENT IN QFT 1+1 46 da una miscela di stati (vedi definizione di entanglement) e da un’ entropia geometrica Sψ(A), Figura 4.1. • In teoria dei campi lo stato di vuoto |0〉 puo’ essere isolato con il limite T → 0 di temperatura nulla ed in generale questa è una procedura ben definita, che permette di studiarne l’entanglement. Questo studio è stato proposto per analizzare le transizione di fase quantistiche a T = 0 nei sistemi (1 + 1) e (2 + 1) dimensionali (Cap.7). • Per analizzare le proprietà degli stati eccitati occorre selezionarli nel sistema creando eccitazioni locali (campo ψ(x, t)) o mediante meccanismi termici. Le miscele termiche assumono quindi un’ importanza particolare nello studio delle proprietà di entanglement degli stati eccitati della teoria dei campi ed è interessante capire eventuali relazioni fra entropie termiche e geometriche (discuteremo un esempio nei Cap. 5 e 6). • Compaiono notevoli complicazioni tecniche. È molto difficile determinare autovalori ed autofunzioni delle matrici densità ridotte. I calcoli per l’ entropia geometrica di entanglement richiedono integrazioni funzionali su geo- metrie complicate. I metodi esatti delle teorie conformi e integrabili (Cap.1 e 2) permettono di ottenere dei risultati analitici generali in una dimensione spaziale. B A ψ(x,t) Figura 4.1: partizione geometrica in sottosistemi della teoria di campo in una dimensione spaziale.
CAPITOLO 4. ENTROPIA DI ENTANGLEMENT IN QFT 1+1 47 4.2 Funzione di partizione e metodo delle repli- che In questo è fornita una formula generale per il calcolo dell’ entropia di entanglement di un sistema bipartito descritto da una teoria di campo. Il caso di una teoria invariante conforme è descritto nel paragrafo successivo, [28] e [29]. Sia: S[ψ] = R dτLE(ψ(x, τ)), (4.2) l’ azione di una teoria di campo bidimensionale, LE(ψ(x, τ)) la lagrangiana euclidea e x variabile reale. Una possibile base per lo spazio di Hilbert degli stati, qualora non sia noto lo spettro dell’ hamiltoniana, è data dai ket {|ψ(x, τ)〉} che specificano il valore del campo nel punto (x, τ) dello spazio tempo: ˆψ(x, τ)|ψ(x, τ)〉 = ψ(x, τ)|ψ(x, τ)〉. (4.3) Formalmente si puo’ esprimere la funzione di partizione Z(β) del sistema quantistico a temperatura finita β = 1 T , con l’ integrale funzionale1 : Z(β) = e −βH = stati ψ(x,τ)=ψ(x,τ+β) D[ψ] e − R β 0 dτLE(ψ(x,τ)) . (4.4) La media termica è ottenuta prendendo condizioni al contorno periodiche temporali per il campo ψ(x, τ). Lo stato quantistico a molte particelle è così una miscela termica (3.2), la sua matrice densità non normalizzata è tale che: T r(˜ρ) = Z(β). (4.5) 1 Nel caso di una teoria bosonica libera equivale al calcolo del determinante del laplaciano con particolari condizioni al contorno.
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