entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 5. FERMIONI SUL TORO 64
questa tesi. Ci limiteremo ad esaminare e sviluppare i casi semplici che sono stati
discussi in letteratura, [1].
Il metodo di Cardy-Calabrese, (4.18), basato sull’ interpretazione dell’ integrale
funzionale (4.9) come funzione a due punti di un singolo operatore di twist σ(z, ¯z)
non è applicabile al caso a temperatura e taglia finita, perché la superficie T (n)
non è mappabile nell’ intero piano complesso (si mappa infatti in un sottoinsieme
del semipiano superiore). Considereremo quindi il metodo descritto nel par. 4.7,
che è basato sulla scelta delle condizioni al contorno dell’ integrale funzionale.
In pratica questo è calcolabile in forma esplicita solamente per campi bosonici e
fermionici liberi, per i quali le condizioni al contorno sono specificabili sul campo
fondamentale, variabile d’integrazione. Illustreremo il caso del campo di Dirac
(c = 1), risolto nel lavoro [1].
In questo capitolo riassumiamo i passi principali del calcolo dell’ integrale fun-
zionale come prodotto di operatori di twist. Nel capitolo successivo esamineremo le
conseguenze fisiche che sono estraibili da queste espressioni esplicite e l’estensione
al fermione di Majorana (c = 1
2 ).
5.2 Motivazioni
Il calcolo dell’ entropia di entanglement in un sistema a temperatura e dimensioni
finite, ovvero sulla superficie del toro, è interessante per i seguenti motivi:
• Le correzioni di temperatura finita fanno intervenire gli stati eccitati del-
la teoria conforme che non sono presenti nelle espressioni del cilindro. In
particolare sarà possibile ottenere l’entropia geometrica dei settori corrispon-
denti alle rappresentazioni di Virasoro diverse dal vuoto |0〉, costruite a par-
tire dagli pseudo-vuoti, |h〉, i pesi massimi, e dalle loro deformazioni locali
L−1|h〉, L−2|h〉, ... (vedi Cap.1). Questi contributi saranno analizzabili nello
sviluppo di bassa temperatura dell’entropia geometrica sul toro.