entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 7
Da T µ µ = 0 segue Tz¯z = T¯zz = 0 e da ∂µT µν = 0, ∂¯zTzz = ∂zT¯z¯z = 0, dunque
Tzz ≡ T (z) è una funzione analitica (T¯z¯z ≡ ¯ T (¯z) è antianalitica).
I campi primari sono le quantità principali delle teorie conformi perché sono uni-
vocamente associate alle rappresentazioni irriducibili dell’ algebra conforme (vedi
par.1.2.5). Essi soddisfano un’ algebra locale (OPE, Operator Product Expansion):
limitatamente alla parte olomorfa (o chirale) 5 , l’OP E si definisce:
φi(z)φj(w) =
C k ij(z − w)φk(w) per z → w. (1.16)
k
In alcune classi di teorie conformi è possibile la determinazione esatta dei coeffi-
cienti dello sviluppo C k ij(z − w), che hanno la forma:
dove le C k ij sono le costanti di struttura.
1.2.2 Identità di Ward conforme
C k ij(z − w) = (z − w) hk−hi−hj C k ij, (1.17)
Quantisticamente l’ invarianza (covarianza) conforme si manifesta in una serie
di equazioni differenziali (identità di Ward) per i correlatori tra campi primari,
introdotti come medie funzionali:
〈φ1(z1, ¯z1)...φn(zn, ¯zn)〉 =
−S[φ] D[φ]e φ1(z1, ¯z1)...φn(zn, ¯zn)
, (1.18)
D[φ]e−S[φ] dove S[φ] è l’ azione euclidea e D[φ] la misura invariante conforme. Per esami-
nare il comportamento sotto trasformazioni conformi della (1.18) racchiudiamo i
punti zi di singolarità del correlatore all’ interno del cerchio C, vedi Figura 1.2, e
consideriamo un cambio di coordinate x µ → x µ + ε µ (x) tale che ε(z) è analitica,
5 La OPE ha significato di uguaglianza solo all’ interno di correlatori nel limite in cui |z − w|
è più piccolo di ogni altra distanza.