entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

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CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 12 del piano z nel cilindro di circonferenza 2πR con coordinata w. z w = R logz Figura 1.3: Trasformazione conforme descritta. Le variabili t ed x sul cilindro corrispondono all’ ordinario tempo e spazio Il cilindro è lo spazio-tempo di una teoria quantistica (1+1) dimensionale con condizioni periodiche al contorno spaziali e l’evoluzione temporale lungo l’asse del cilindro corrisponde al moto radiale nel piano. La trasformazione al cilindro agisce inoltre sul tensore energia impulso e caratterizza il ruolo dei suoi modi nelle due geometrie. Applicando la trasformazione (1.30) si ottiene: w t x 2πR w=t+ix Tcil(w) = 1 R2 z 2 Tpiano(z) − c . (1.35) 24 Il generatore delle traslazioni temporali nel cilindro è dato dall’ hamiltoniana: Hcil = 1 2πR dx (Tcil)tt = 2π 0 1 2π L 0 dx Tcil(w) + ¯ Tcil( ¯w) d ¯w ¯ Tcil( ¯w) = 1 dw Tcil(w) − 2πi t=cost t=cost 1 = dz zTpiano(z) − 2πiR C0 c 1 + c.c. (1.36) 24 z = 1 L0 + R ¯ L0 − c . (1.37) 12 Abbiamo ottenuto che il generatore delle dilatazioni nel piano L0 è legato all’ hamiltoniana nel cilindro 8 . Poiché gli stati della teoria conforme hanno una definita dimensione di scala e quindi sono autostati di L0 risulta conveniente considerare l’ 8 1 1πR Analogamente si puo’ provare che P = 2π dx (Tcil)tx = 0 1 R (L0 − ¯ L0) è il generatore delle traslazioni sul cilindro, rotazioni nel piano.
CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 13 evoluzione radiale nel piano e scegliere il corrispondente ordinamento operatoriale radiale: A(z)B(z ′ )θ(|z| > |z ′ |) + B(z ′ )A(z)θ(|z| < |z ′ |). (1.38) Applicando questa regola possiamo calcolare il commutatore tra i modi di T (z): [Lm, Ln] = = 1 [ (2πi) 2 1 (2πi) 2 C CO dz T (z)z n+1 , dw T (w)w CO n+1 ] dw w n+1 dz z n+1 T (z)T (w). Dove, fissato w, il contorno C è scelto come in Figura 1.4 per rispettare l’ ordinamento radiale. 01 01 w O O |z|>|w| 01 01 C C w |z|
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BIBLIOGRAFIA 112 [31] V. Korepin. U
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