entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 4. ENTROPIA DI ENTANGLEMENT IN QFT 1+1 60
Consideriamo dunque un campo complesso libero ψ(z) e il vettore delle n
repliche:
⎛
⎜ ψ
⎜
Ψ = ⎜
⎝
1
.
ψn ⎞
⎟ . (4.45)
⎠
Le condizioni al contorno sul taglio ψ k → ψ k+1 corrispondono alla matrice n × n:
⎛
⎜
C = ⎜
⎝
0
0
.
0
1
0
.
0
0
1
.
· · ·
· · ·
· · ·
. ..
0
0
0
0
1
(±1) (n+1) ⎞
⎟
⎠
· · · · · · · · · 0
(4.46)
Dove il segno ± dell’ ultimo elemento della prima colonna è riferito a campi bosonici
o fermionici, [35], rappresentati nell’ integrale funzionale da variabili di Grassmann.
Tali matrici possono essere diagonalizzate 9 da trasformazioni unitarie U ∈ U(n);
in particolare per campi bosonici gli autostati, combinazioni lineari degli ψ j sono:
˜ψ k = 1
n−1
√
n
j=0
mentre per campi fermionici 10 :
˜ψ k = 1
√ n
n−1
2
j=− n−1
2
2πikj
−
e n ψ σ(j) ; C ˜ ψ k = λk ˜ ψ k ; λk = e 2πik
n ; k = 0...n − 1. (4.47)
2πikj
−
e n ψ σ(j) ; C ˜ ψ k = λk ˜ ψ k ; λk = e 2πik
n ; k = −
9 Il calcolo del polinomio caratteristico è elementare.
10 In questo modo i casi n pari e dispari sono trattati contemporaneamente.
n − 1
...
2
n − 1
.
2
(4.48)