entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 4. ENTROPIA DI ENTANGLEMENT IN QFT 1+1 53
termini successivi di dimensione inferiore sono fattori geometrici che dipendono
dalla forma del bordo (metrica della geometria estrinseca). I termini di massa
contengono analoghe espressioni in cui potenze di a sono sostituite da potenze di
m. Lo sviluppo (4.21) puo’ essere verificato esplicitamente per teorie libere nello
spazio euclideo infinito, [32].
Un aspetto importante è l’assenza del termine proporzionale al volume di A,
|A| per cui il termine dominante è dato dalla superficie del bordo ∂A = ∂B, |∂A|,
che separa le regioni A e B (legge dell’ area) 4 . Essenzialmente la dipendenza dal
volume è esclusa dalla proprietà di reciprocità dell’ entropia S(A) = S(B) ⇒
S(|∂A|) = S(|∂B|). Naturalmente i termini dipendenti dal cut off devono essere
cancellati dalla rinormalizzazione in modo da esporre la dipendenza dai parametri
fisici rinormalizzati (masse, costanti d’accoppiamento) della teoria. A tale scopo
si considerano spesso combinazioni di entropie per le quali i termini di cut-off non
universali si cancellano. Sebbene le proprietà e la rinormalizzazione di S(A) in
d > 2 siano ancora poco comprese, alcuni risultati generali sono noti in d = 1.
La legge dell’area (4.21) determina un’entropia in d = 1 che è indipendente dalla
dimensione L del sottosistema e proporzionale al numero dei bordi (due). Questo
comportamento è verificato se la massa (correlazione ξ) è finita, (vedi par.4.6) 5 .
Al punto critico il risultato del paragrafo precedente (4.20) mostra che la legge
dell’ area è violata: l’ andamento logaritmico 6 è una conseguenza delle correlazioni
infinite. Questa proprietà potrebbe essere molto significativa per caratterizzare le
transizioni di fase quantistiche (a T=0). Si noti che l’ espressione (4.20) dipende
dal cut-off nell’argomento del logaritmo, ma il coefficiente di proporzionalità è
chiaramente universale ed è proporzionale alla carica centrale.
4In d = 3, si intende per area il volume del bordo (d-1) dimensionale.
5 L
Almeno all’ordine dominante in ξ con L ≫ ξ, [33].
6Fatto noto numericamente, [32].