entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 9
Il risultato finale è 7 :
n
〈φ1(z1, ¯z1)...δε¯εφi(zi, ¯zi)...φn(zn, ¯zn)〉+
i=1
− 1
dz ε(z)〈T (z)φ1(z1, ¯z1)...φn(zn, ¯zn)〉 + c.c. = 0. (1.21)
2πi C
Considerando come indipendenti le trasformazioni olomorfe dalle antiolomorfe ed
indicando con 〈X〉 una generica funzione di correlazione, C un cammino che con-
tiene tutti i suoi argomenti, possiamo scrivere:
〈δεX〉 = 1
dz ε(z)〈T (z)X〉. (1.22)
2πi C
Le componenti T (z) e ¯ T (¯z) sono quindi i generatori delle trasformazioni conformi
per la parte olomorfa ed antiolomorfa della teoria.
Specializzandosi a campi φi primari, dalla (1.13) con w(z) = z+ε(z), otteniamo:
δεφ h ¯ h(z, ¯z) = (h∂zε + ε∂z)φ h ¯ h(z, ¯z). (1.23)
Per il teorema di Cauchy e l’arbitrarietà di ε(z) l’ identità di Ward si puo’ riscrivere
come un’ espressione locale:
〈T (z)φ1(z1, ¯z1)...φn(zn, ¯zn)〉 =
n
hi 1 ∂
+ 〈φ1(z1, ¯z1)...φn(zn, ¯zn)〉.
(z − zi) 2 z − zi ∂zi
(1.24)
i=1
Un’ espressione identica varrà per le quantità antiolomorfe. Dunque l’ inserzione
di T nei correlatori è equivalente all’azione di un operatore differenziale. Questa
relazione è molto importante in CFT.
Notiamo infine che per trasformazioni conformi globali, prive di punti singolari:
〈δεX〉 = 0. (1.25)
7 Con c.c. si intende la sostituzione delle corrispondenti quantità barrate con attenzione al
fatto che ¯ h non è il coniugato di h.