entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 4. ENTROPIA DI ENTANGLEMENT IN QFT 1+1 49
Considerando le n repliche della Figura 4.2(b) si ha:
T rρ n A = Zn(A)
Z n
1
=
Zn
C (n) D
(0,L)
(n) [ψ] e −S(n) [ψ]
, (4.9)
dove le condizioni C (n) (0, L) garantiscono la corretta evoluzione nel tempo euclideo:
C (n) ⎧
⎪⎨
0 ≤ x ≤ L, x ∈ R,
(0, L) = ψ
⎪⎩
i +(x, 0) = ψ i+1
− (x, 0),
ψ
i = 1, ..., n − 1;
n +(x, 0) = ψ1 −(x, 0).
(4.10)
L’azione S (n) [ψ] è uguale a n
i=1 S[ψi ], dove S[ψ i ] è per ogni campo come nella
(4.2) 2 . Lo spazio tempo d’integrazione per il metodo delle repliche è così una super-
ficie di Riemann R n composta da n cilindri infiniti uniti lungo un taglio di ordine
n e lunghezza finita L (taglio di radice n-esima). L’ invarianza conforme semplifica
notevolmente il calcolo dell’ integrale funzionale (4.9) in quanto superfici di Rie-
mann ad n-fogli possono essere mappate nel piano complesso con trasformazioni
conformi.
β
n=2
ψ
Figura 4.3: Spazio tempo per il calcolo di T rρ2 A . Si tratta di una superficie di
Riemann in w = x + iτ con un taglio di radice.
2 Si puo’ pensare che ciascun campo replicato ψ i si trovi nel solo foglio i-esimo di R n e che
soddisfi le condizioni C (n) (0, L) al contorno sul corrispondente foglio.
1
β
ψ
2