entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

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APPENDICE B. CALCOLO DI UN DETERMINANTE FERMIONICO 106 Utilizzando la relazione sin z = z ∞ k=1 1 − z2 k2π2 , la (B.3) si riscrive ponendo v = 1 2 : n∈Z (n + a) = eiπa − e −iπa che deriva dallo sviluppo, [55] ∞ r= 1 2 (q¯q) −r (1 + q r ) 2 (1 + ¯q r ) 2 . (B.4) Si regolarizza il primo fattore della produttoria su r con la continuazione analitica: ∞ n=0 1 1 n + = 2 2 ∞ k=0 (2k + 1) = 1 1 λ(−1) = −1 ζ(−1) = , (B.5) 2 2 24 dove λ(s) = (1 − 2 −s )ζ(s), [55]. Si ottiene infine per la funzione di partzione del fermione di Dirac nel settore ν = 3: [Z 1 1 , ] 2 2 2 1 − = (q¯q) 24 ∞ r= 1 2 (1 + q r ) 2 (1 + ¯q r ) 2 (B.6) = θ3(0|τ) η(τ) 2 . (B.7)
Appendice C OPE tra operatori di vertice Vogliamo provare la formula: con 〈ϕ(z, ¯z)ϕ(0)〉 = − log |z| 2 . Abbiamo: ∞ (iγ1) k (iγ2) j k=0 j=0 = = = k! : e iγ1ϕ(z,¯z) : : e iγ2ϕ(0) : = |z| 2γ1γ2 : e iγ1ϕ(z,¯z)+iγ2ϕ(0) : , (C.1) j! ∞ (iγ1) k (iγ2) j k=0 j=0 min(k,j) h=0 ∞ h=0 k! j! : ϕ k (z, ¯z) : : ϕ j (0) : (C.2) min(k,j) h=0 2γ1γ2 h log |z| h! 2γ1γ2 h log |z| h! ∞ k=0 j=0 ∞ k h m≡k−h=0 n≡j−h=0 j h! : ϕ h k−h (z, ¯z)ϕ j−h (0) : log |z| −2 (iγ1) k−h (iγ2) j−h (k − h)!(j − h)! (iγ1) m (iγ2) n m!n! (C.3) : ϕ k−h (z, ¯z)ϕ(0) j−h : (C.4) : ϕ m (z, ¯z)ϕ(0) n : (C.5) = |z| 2γ1γ2 : e iγ1ϕ(z,¯z)+iγ2ϕ(0) : . (C.6) 107
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Università degli Studi di Firenze
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INDICE iv 5.4.1 Correlatore tra cam
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SOMMARIO vi (Cap.3). In un sistema
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Capitolo 1 Introduzione alle teorie
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CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIA
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Capitolo 2 Teorie conformi con bord
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