entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 4. ENTROPIA DI ENTANGLEMENT IN QFT 1+1 54
4.5 Entropia in CFT per altre geometrie
La corrispondenza fra Trρ n A
ed il correlatore 〈σ(u)˜σ(v)〉, (4.19) nelle proprietà di
trasformazione conforme consentono di estendere il risultato per l’entropia S(A),
(4.20) ad altre geometrie mappabili conformemente al piano, utilizzando le regole
(1.13) di trasformazione dei campi primari. Ad esempio ponendo:
w = e 2π
β w′
, w ′ = x + iτ, (4.22)
otteniamo un sistema con tempo periodico β, corrispondente a temperatura finita,
1
β . Il taglio è L = xu − xv ∈ R, u = e 2πxu
β e v = e 2πxv
β . Si ricava:
〈σ(xu)˜σ(xv)〉cil =
Per L ≫ β si ottiene il limite S → c πL
3β
=
dw
dw
′
2hσ
dw
xu,τu=0 dw ′
β
πa shπL
−4hσ ,
β
2h˜σ
xv,τv=0
〈σ(u)˜σ(v)〉C
S(L, β) = c
3 log
β
πa shπL
+ costante. (4.23)
β
corrispondente all’ entropia termica di
una qualunque CF T , derivato al Cap.2 7 . Questo risultato è in accordo con l’in-
tuizione che le fluttuazioni termiche ad alta temperatura cancellino le correlazioni
quantistiche (vedi par. 3.4).
Un’ altra possibilità è considerare periodica la direzione spaziale, indicata con
Λ, cambiando la realtà della mappa esponenziale (4.22). Il risultato per l’ entropia
di entanglement a T=0 e condizioni periodiche al contorno spaziali è:
S(L, Λ) = c
3 log
Λ πL
sin + costante. (4.24)
πa Λ
Esso è simmetrico in L → Λ − L, operazione corrispondente allo scambio delle
regioni A e B.
7 Il limite termico è presentato direttamente dalla (4.9) in [34].