entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 3. ENTANGLEMENT IN MECCANICA QUANTISTICA 35
Hilbert di dimensione d, è il proiettore sullo stato che soddisfa:
Trρ = Trρ 2 = 1. (3.1)
In questo formalismo si possono descrivere anche miscele di stati |ψi〉 ai quali sono
associate probabilità classiche pi ∈ R + :
ρ =
pi|ψi〉〈ψi|,
pi = 1, 0 ≤ pi ≤ 1, Trρ = 1. (3.2)
i
i
Un esempio tipico è la miscela termica, un sistema quantistico posto in contatto
con un bagno termico, con pi = e−βE i
Z
1 , β = , T temperatura, H hamiltoniana
T
con H|ψi〉 = Ei|ψi〉 e Z =
stati e−βH funzione di partizione. Per stati miscela,
vale la proprietà: T rρ 2 <
ij pipj = 1; l’ evoluzione temporale unitaria, come
per stati puri, è regolata dall’ equazione di Von Neumann. Più in generale un
qualunque stato non puro puo’ essere descritto da una combinazione convessa di
matrici densità ρi e di numeri reali pi, come nella (3.2):
ρ =
piρi. (3.3)
i
Poiché una matrice densità è hermitiana, esiste una base {|ai〉} di H di suoi au-
tovettori ortonormali, relativi agli autovalori {λi} positivi e con somma uno per
cui:
ρ =
λi|ai〉〈ai|, (3.4)
Si definisce l’ entropia di Von Neumann per lo stato descritto da ρ come:
i
Sρ = −
λi log λi = −T rρ log ρ, (3.5)
i