entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 16
simi per costruire un’ altra rappresentazione dell’ algebra di Virasoro nello spazio
dei loro discendenti (ad esempio, L−n|χ〉). La rappresentazione in cui si trova un
vettore nullo è riducibile (usualmente detta degenere). Per ottenere una rappre-
sentazione irriducibile bisogna individuare tali vettori ed eliminarli dallo spettro,
imponendo la condizione |χ〉 ∼ 0. Un’ altra questione importante è l’ unitarietà
delle rappresentazioni; essa si traduce nella condizione che la norma degli stati
L−n1...L−nk |h〉 sia positiva. La soluzione di questo notevole problema matematico
è stata ottenuta analizzando il segno del determinante della matrice di Gram:
⎛
⎜
〈h|L
⎜
G(h, N, c) = ⎜
⎝
N 1 LN −1|h〉 · · · 〈h|LN ⎞
.
. ..
1 L−N|h〉
⎟
. ⎟ ;
⎠
(1.42)
〈h|LNL N 1 |h〉 · · · 〈h|LNL−N|h〉
la dimensione della matrice è P (N) × P (N) dove P (N) è il numero delle partizioni
di N; i suoi elementi sono i prodotti scalari tra gli stati al livello N. La formula
esatta per il determinante di G(h, N, c) è stata ricavata da Kac, Fegin e Fuchs,
[12]. Lo studio di questa quantità porta alle seguenti conclusioni:
• per c < 0 non esistono rappresentazioni unitarie;
• per c > 1 tutte le rappresentazioni sono unitarie e irriducibili per ogni valore
di h;
• per c = 1, esistono infiniti valori di h per cui le rappresentazioni sono degeneri,
ma tutte sono unitarie;
• per 0 < c < 1 la richiesta di rappresentazioni unitarie è molto restrittiva;
queste sono possibili per una serie discreta di valori di c e di h, la cosiddetta
serie dei modelli minimali:
c(m) = 1 −
6
; m = 3, 4, ... . (1.43)
m(m + 1)