entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 5. FERMIONI SUL TORO 66
τ
z
i
β
Λ
Figura 5.2: Toro nel piano complesso con parametro modulare τ puramente
immaginario.
Consideriamo preliminarmente un fermione reale, o di Majorana, con entram-
be le componenti olomorfe ed antiolomorfe (questa è condizione necessaria per l’
invarianza modulare della teoria); l’azione è:
L
Λ
S[ψ, ¯ ψ] = 1
d
2π T
2 x (ψ ¯ ∂ψ + ¯ ψ∂ ¯ ψ). (5.3)
Notiamo che le equazioni del moto implicano la chiralità di ψ, ¯ ∂ψ = 0. La funzione
di partizione è il determinante:
Z =
D[ψ ¯ ψ]e −S[ψ, ¯
ψ]
= N det∂ ¯ ∂ ≡ N √ det∆, (5.4)
N è una costante di normalizzazione, ∆ è il laplaciano e ψ e ¯ ψ sono variabili di
Grassmann. La riduzione del determinante dell’ operatore di Dirac al laplaciano
è alla base dell’ equivalenza tra bosoni e fermioni in due dimensioni, la cosiddetta
bosonizzazione, della quale faremo largo uso nel seguito.
Il calcolo degli autovalori del laplaciano sul toro richiede di specificare le condizioni
al contorno periodiche o antiperiodiche ν ≡ (u, v) per il campo ψ(z, ¯z) lungo le
direzioni spaziali e “temporali”:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ψ(z + 1, ¯z + 1) = e 2πiu ψ(z, ¯z); u = 0, 1
2 ,
ψ(z + τ, ¯z + ¯τ) = e 2πiv ψ(z, ¯z); v = 0, 1
2 .
1
(5.5)
La coppia ν ≡ (u, v) è usualmente chiamata una struttura, o settore, di spin, [38];