entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 3. ENTANGLEMENT IN MECCANICA QUANTISTICA 40
Per θ = φ = ± π,
questi stati sono detti stati di Bell, [19].
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3.3 Entropia di entanglement
Sia |ψ〉 uno stato in HA ⊗HB, indichiamo con M(|ψ〉) una misura di entanglement
dello stato, invariante per trasformazioni Ul. Riferendosi al precedente paragrafo
richiederemo che M(|ψ〉) sia nulla per |ψ11〉 e massima per |ψ0〉 (per cui ρA ∝ 1A).
Considerando le rispettive matrici densità ridotte e la discussione del par. 3.1, una
possibilità è porre, (λi e nS come nella (3.12)):
M(|ψ〉) = SρA ≡ Sψ(A) = −TrAρA log ρA = −
nS
λi log λi, (3.19)
ovvero l’ entropia di Von Neumann della matrice densità ridotta ρA, detta entropia
di entanglement, [21] 2 . La seconda notazione, Sψ(A), è usata per evidenziare la
dipendenza dallo stato |ψ〉 e dai gradi di libertà del sottosistema A che non viene
tracciato (entropia geometrica); evidentemente Sψ(A ∪ B) = Sρ = 0 se |ψ〉 è uno
stato puro.
L’ entropia statistica è proporzionale al logaritmo del numero di stati compatibi-
li con i parametri termodinamici; l’entropia di entanglement ha un’interpretazione
analoga in quanto è proporzionale al logaritmo del numero di stati puri in cui puo’
trovarsi il sottosistema A se non si ha alcuna informazione sullo stato di B. Tale
numero è anche lo stesso degli stati in cui, a sua volta, puo’ trovarsi B se non sia ha
alcuna informazione sullo stato di A. Si noti comunque la differenza importante che
l’entropia statistica è una proprietà dell’ intero sistema a temperatura T mentre l’
entropia di entanglement è specifica di un singolo stato del sistema (diviso in due
parti).
L’ entropia d’entanglement (3.19) ha le seguenti proprietà:
2 Questo non esclude che altre funzioni dei soli autovalori di ρA, o ρB non possano essere
utilizzate.
i=1