entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 2. TEORIE CONFORMI CON BORDO (BCFT) 32
Studiando le trasformazioni di parità dello spin, si possono identificare le prime due
condizioni al contorno come quelle fisse σ = +, − mentre il terzo caso corrisponde a
condizioni al contorno libere. Il contenuto operatoriale delle funzioni di partizione
Zlk è consistente con le regole di fusione:
ε × ε = 1; ε × σ = σ; σ × σ = 1 + ε. (2.30)
In particolare il campo che modifica condizioni al contorno libere in condizioni
con spin fissato è, nella notazione del par. 1.2.5, φ22, h = 1 , ovvero lo spin σ,
16
corrispondente all’ accensione di un campo magnetico sul bordo.
2.2 Entropia di Affleck e Ludwig
Consideriamo una teoria quantistica in una dimensione spaziale di lunghezza L
ed indichiamo la lunghezza della direzione compattificata con β ≡ 1 , dove T è la
T
temperatura. Avremo quindi:
Zij =
k
Nel limite termodinamico L
β
carattere χk(q), otteniamo:
da cui:
N k ijχk(q) = 〈ĩ|e −LHP
|˜j〉 = funzione di partizione termica. (2.31)
lim Zij(˜q) ∼
˜q→0
→ ∞, effettuando una trasformazione modulare sul
k
N k ijSk0χ0(˜q) ∼ e cL
6β
k
N k ijSk0, (2.32)
2πL
−
lim 〈ĩ|e β
˜q→0 (L0+ ¯ L0− c
12 ) |˜j〉 = e cL
6β 〈ĩ|0〉〈0|˜j〉; (2.33)
〈ĩ|0〉〈0|˜j〉 =
k
N k ijSk0 ≡ gigj, (2.34)