entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 3
livello quantistico in presenza di interazione, l’invarianza di scala è ottenuta ai
punti critici in cui la funzione beta dell’ accoppiamento si annulla.
L’invarianza conforme emerge naturalmente in questo contesto come genera-
lizzazione dell’ invarianza per dilatazioni. Una trasformazione infinitesima delle
coordinate xµ → xµ +εµ è conforme se la metrica trasforma per un fattore di scala:
g ′ µν(x ′ ) = Ω(x)gµν(x). (1.3)
La (1.3) deve vedersi come una deformazione della metrica euclidea gµν = δµν (e
dunque della geometria dello spazio) seguita da una riparametrizzazione che riporta
nella metrica piatta. La trasformazione di coordinate infinitesima:
g ′ µν(x ′ (x)) = gµν(x) − ∂µεν(x) − ∂νεµ(x). (1.4)
eguagliata alla trasformazione conforme della metrica (1.3) conduce all’equazione:
Tracciando si ottiene:
∂µεν(x) + ∂νεµ(x) = (1 − Ω(x))gµν(x) ≡ Λ(x)gµν(x). (1.5)
∂µεν(x) + ∂νεµ(x) = 2
d ∂ · ε gµν, (1.6)
ovvero la parte simmetrica a traccia nulla è nulla in un cambio di coordinate
conforme. L’equazione (1.6) ammette come soluzione in d > 2, per sostituzione
diretta, la forma quadratica, [6]:
dove tutti i parametri sono reali:
• ε µ = a µ corrisponde a traslazioni;
ε µ (x) = a µ + ω µν xν + c µαβ xαxβ, (1.7)