entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 3. ENTANGLEMENT IN MECCANICA QUANTISTICA 37
La forma fattorizzata (3.7) implica l’ assenza di correlazioni fra le misure effettuate
sui due sottosistemi. Lo stato |ψ11〉 è prodotto di autostati S A z = S B z = 1
2 indipen-
denti dei due spin, la misura di S A z darà 1
2
indipendentemente dall’ osservazione di
S B z . Viceversa per lo stato di singoletto |ψ0〉 l’ assenza di fattorizzazione implica
che il risultato della misura di S A z dipende dall’ esito della misura di S B z (para-
dosso EPR, correlazioni di Bell). In particolare il singoletto è un autostato delle
osservabili globali ma non di quelle dei sottosistemi.
Come accennato nell’ introduzione, le correlazioni di Bell possono essere uti-
lizzate per la trasmissione di segnali a livello quantistico e per caratterizzare le
proprietà di stati fondamentali a temperatura zero (Cap.4).
Un esempio meno ovvio di stato non entangled è dato da:
|χ〉 = 1
√ 2 (| ↑↑〉 + | ↑↓〉) = | ↑〉 ⊗ 1
√ 2 (| ↑〉 + | ↓〉), (3.9)
che è autostato di S A z e S B x ; non appare in forma fattorizzata ma vi puo’ essere
riscritto mediante un cambiamento di base nel sottosistema B. Uno stato è quindi
entangled se non è fattorizzabile mediante trasformazioni unitarie nei sottosistemi
(“locali”) Ul:
Ul ∈ U(2) ⊗ U(2). (3.10)
Si noti che l’ entanglement concerne gli esiti di misure quantistiche sui due sot-
tosistemi e non riguarda le interazioni usualmente descritte da termini nell’ ha-
miltoniana. Naturalmente i due stati di singoletto e tripletto prima considerati
possono essere realizzabili fisicamente come stati fondamentali di un’ hamiltoniana
H con termini locali h · (S1 + S2) e d’interazione JS1 · S2 (vedi analisi al par. 3.4).
L’ entanglement è una proprietà quantistica che prescinde dal valore relativo dei
parametri (h, J) dell’ hamiltoniana H (si noti che per −J ≫ h > 0, |ψ11〉 sarebbe
infatti più correlato di |ψ0〉).