entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

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Capitolo 3 Entanglement in meccanica quantistica L’entanglement di uno stato quantistico è la correlazione presente fra le due (o più) parti di cui è composto. Ad esempio, lo stato di singoletto di due spin 1 2 è entangled: la misura di un’ osservabile di un sottosistema (uno spin) è correlata alla misura nell’ altro sottosistema. Il concetto di entanglement ha trovato importanti applicazioni soprattutto nella teoria dell’ informazione quantistica, [19] e [20]: stati entangled sono usati per realizzare protocolli di crittografia e teletrasporto o come efficienti supporti per lo scambio dell’ informazione. In questo capitolo, riferendoci per concretezza ad un esempio di due spin 1 2 , discuteremo una precisa definizione di entanglement e due sue possibili misure; una, l’entropia di entanglement, sarà in particolare utilizzata in teoria dei campi, (Cap.4). 3.1 Matrice densità ed entropia di Von Neumann È conveniente pensare ad uno stato di un sistema quantistico in termini della sua matrice densità ρ, hermitiana. Per stati puri ρ = |ψ〉〈ψ|, dove |ψ〉 ∈ H, spazio di 34
CAPITOLO 3. ENTANGLEMENT IN MECCANICA QUANTISTICA 35 Hilbert di dimensione d, è il proiettore sullo stato che soddisfa: Trρ = Trρ 2 = 1. (3.1) In questo formalismo si possono descrivere anche miscele di stati |ψi〉 ai quali sono associate probabilità classiche pi ∈ R + : ρ = pi|ψi〉〈ψi|, pi = 1, 0 ≤ pi ≤ 1, Trρ = 1. (3.2) i i Un esempio tipico è la miscela termica, un sistema quantistico posto in contatto con un bagno termico, con pi = e−βE i Z 1 , β = , T temperatura, H hamiltoniana T con H|ψi〉 = Ei|ψi〉 e Z = stati e−βH funzione di partizione. Per stati miscela, vale la proprietà: T rρ 2 < ij pipj = 1; l’ evoluzione temporale unitaria, come per stati puri, è regolata dall’ equazione di Von Neumann. Più in generale un qualunque stato non puro puo’ essere descritto da una combinazione convessa di matrici densità ρi e di numeri reali pi, come nella (3.2): ρ = piρi. (3.3) i Poiché una matrice densità è hermitiana, esiste una base {|ai〉} di H di suoi au- tovettori ortonormali, relativi agli autovalori {λi} positivi e con somma uno per cui: ρ = λi|ai〉〈ai|, (3.4) Si definisce l’ entropia di Von Neumann per lo stato descritto da ρ come: i Sρ = − λi log λi = −T rρ log ρ, (3.5) i
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Appendice B Calcolo di un determina
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Appendice C OPE tra operatori di ve
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BIBLIOGRAFIA 110 [9] J. Cardy. Scal
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BIBLIOGRAFIA 112 [31] V. Korepin. U
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BIBLIOGRAFIA 114 [53] P. Fendley, M
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