entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

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CAPITOLO 6. PROPRIETÀ DELL’ ENTROPIA DI ENTANGLEMENT 90 ding dell’ entropia di entanglement S, in presenza dello stato eccitato |h〉: ∆S = 1 − n d log〈h|h〉z = − dn n=1 d dn n=1 = 2h 1 + 1 2 − x 2h log 1 2 − x 1 2 1 − x 2n − x 1 2n 1 2 + x log xx− 1 2 1 − x 2 − x 1 2 (6.60) . (6.61) L i Passando alle variabili sul cilindro u = 1, v = e R , l’entropia di entanglement (6.61) si riscrive: Per h = 1 2 ∆S = 2h 1 − L L πL cot = 2h 1 − 2R 2R Λ πL cot . (6.62) Λ 1 e molteplicità dello stato | 〉, uguale a 4 come espressa dalla funzione 2 di partizione (6.21) nel settore ν = 3 questo risultato coincide con il coefficiente della (6.39). Ce L Λ Abbiamo quindi mostrato come riottenere l’entropia termica del primo stato fermionico con argomenti generali della CF T e delle sue rappresentazioni. Questo è solo il primo passo per ottenere un’espressione Hamiltoniana generale dell’ entropia di entanglement, analoga a quella termica (Cap.2). Restano da interpretare gli altri stati eccitati nella ˜ S3(q), (6.2). 6.7 Entanglement del fermione di Majorana Consideriamo l’elemento di matrice densità ridotta nel settore ν = 3 per i due fermioni indipendenti di Majorana ψ1, ψ2 sul toro: ρ M A (ψ1−, ψ1+)ρ M A (ψ2−, ψ2+) = 1 [Z 1 1 , 2 2 ] 2 C(0,L) D[ψ1ψ2] e −S[ψ1]−S[ψ2] , (6.63) dove le condizioni C(0, L) sono sullo stesso taglio come nella (4.10) per ognuno dei due campi. Osservando le espressioni (6.21) e (5.8) della funzione di partizione e dell’ azione del fermione di Dirac sul toro nel settore di spin ν = 3 l’integrale
CAPITOLO 6. PROPRIETÀ DELL’ ENTROPIA DI ENTANGLEMENT 91 funzionale (6.63) si riscrive: 1 Z3 D[DD C(0,L) ∗ ] e −S[D,D∗ ] . (6.64) Le condizioni al contorno C(0, L) fissano una particolare configurazione per il fermione di Dirac ai bordi superiori ed inferiori del taglio, dunque la (6.64) è anche l’elemento di matrice densità ridotta ρA per un fermione di Dirac nel settore di spin ν = 3. Ne segue la fattorizzazione: Trρ n A = Tr ρ M A 2n. (6.65) Applicando il metodo delle repliche otteniamo la semplice relazione, fra entropie d’entanglement nelle due teorie: che vale anche negli altri settori di spin. S D 3 = 2S M 3 , (6.66) La (6.66) è confermata dal valore della carica centrale, c = 1, e dal limite termico 2 L Λ → 1 ottenuti dalle formule (6.5)-(6.8). In conclusione la relazione (6.66) è in accordo con il legame fra l’entropie termiche che segue dalla forma fattorizzata delle funzioni di partizione (5.6) in ogni settore.
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Università degli Studi di Firenze
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INDICE iv 5.4.1 Correlatore tra cam
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SOMMARIO vi (Cap.3). In un sistema
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Capitolo 1 Introduzione alle teorie
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CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIA
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Capitolo 2 Teorie conformi con bord
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CAPITOLO 3. ENTANGLEMENT IN MECCANI
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CAPITOLO 3. ENTANGLEMENT IN MECCANI
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